$\sum_{a\lt n\le b}\phi (n)=\int_a^b \phi (x)\, dx+\int_a^b (x-[x]-\frac{1}{2})\phi '(x)\, dx+(a-[a]-\frac{1}{2})\phi (a)-(b-[b]-\frac{1}{2})\phi (b)$
Из «Теории дзета-функции Римана» Титчмарша , стр. 13:
Позволять $\phi (x)$ - любая функция с непрерывной производной в интервале $[a,b]$. Тогда, если$[x]$ обозначает наибольшее целое число, не превышающее $x$, $$\sum_{a\lt n\le b}\phi (n)=\int_a^b \phi (x)\, dx+\int_a^b \left(x-[x]-\frac{1}{2}\right)\phi '(x)\, dx+\left(a-[a]-\frac{1}{2}\right)\phi (a)-\left(b-[b]-\frac{1}{2}\right)\phi (b).$$
В книге нет доказательств этого, и я не знаю, как называется эта теорема. Я хотел бы понять эту теорему, но вообще не знаю, с чего начать.
Ответы
Позволять $\rho(t)=\frac12 -(t-[t])=\frac{1}{2} - \{t\}$, где $\{t\}$ это дробная часть $t$.
Эскиз доказательства:
Подробности оставляю вам. Вот один из способов приблизиться к этой идентичности.
- Во-первых, обратите внимание, что $\rho$ это $1$-периодическая функция, и что $\rho'(t)=-1$ за $x\in [k,k-1)$, $k\in\mathbb{Z}$. За$k\leq \alpha<b\leq k+1$, используйте интеграцию по частям дважды (один раз с $u=f(t)$ и $dv=\rho'(t)\,dt$; и еще один с$u=f'(t)$ и $dv=\sigma'(t)\,dt=\rho(t)\,dt$) получить
$$ \begin{align} -\int^\beta_\alpha f(t)\,dt &= \int^\beta_\alpha f(t)\rho'(t)\,dt\\ &=\rho(\beta-)f(\beta)-\rho(\alpha)f(\alpha)-\int^\beta_\alpha \rho(t)\,f'(t)\,dt \end{align} $$
Теперь вы можете добавлять целые интервалы $[k,k+1]\subset(a,b]$ а затем через потенциально дробные интервалы $(a,[a]+1]$, $[[b],b]$ для получения желаемого результата.
Изменить: более общее и элегантное доказательство можно получить путем интегрирования по частям:
Лемма. Пусть$F$ и $G$ - непрерывные справа функции локально конечной вариации на $I$, и разреши $\mu_G$, $\mu_F$ подписанные меры, вызванные $G$ и $F$соответственно. Тогда для любого компактного интервала$[a,b]\subset I$, $$ \begin{align} \int_{(a,b]} F(t)\,\mu_G(dt)=F(b)G(b)-F(a)G(a)-\int_{(a,b]}G(t-)\,\mu_F(dt) \end{align} $$ где $G(t-)=\lim_{s\nearrow t}G(s)$.
Для ОП,
Рассмотрим счетную меру $\mu(dt)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\delta_{n}$ и мера Лебега $\lambda$, оба определены на $(\mathbb{R}\mathscr{B}(\mathbb{R}))$. Позволять$\phi(dt)=(\lambda-\mu)(dt)$. Заметить, что$\Phi(t):=\phi((0,t])=t-[t]=\{t\}$.
$$ \begin{align} \sum_{a< n\leq b}f(n)-\int^b_af(t)\,dt &=-\int^b_af(t)\,(\mu(dt)-\lambda(dt))=-\int^b_af(t)\phi(dt) \end{align} $$
Применяя лемму выше с $f$ на месте $F$ и $\Phi$ на месте $G$у нас есть это $\mu_f(dt)=f'(t)\,dt$ и $\mu_{\Phi}(dt)=\phi(dt)$ и другие,
$$ \begin{align} \int^b_af(t)\phi(dt) &= f(t)\Phi(t)|^b_a -\int^b_a\Phi(t-)\, f'(t)\,dt\\ &=f(b)\{b\}-f(a)\{a\}-\int^b_a\Phi(t)\,f'(t)\,dt\\ &= f(b)(b-[b])-f(a)(a-[a)] -\int^b_a(t-[t])\,f'(t)\,dt \end{align} $$
где изменение от $\Phi(t-)$ к $\Phi(t)$ следует из того, что $\Phi(t-)=\Phi(t)$ $\lambda$-в виде
Вывод следует из сложения и вычитания $\frac12$ в последнем интеграле.
Это от Абеля-Суммации: $$\sum_{a<n\leq b} f(n) = f(b) \sum_{a<n\leq b} 1 - \int_a^b \sum_{a<n\leq t} 1 \cdot f'(t) \, {\rm d}t \\ = f(b) \left( \lfloor b \rfloor - \lfloor a \rfloor \right) - \int_a^b \left( \lfloor t \rfloor - \lfloor a \rfloor \right) f'(t) \, {\rm d}t \\ = f(b) \lfloor b \rfloor - f(a) \lfloor a \rfloor + \int_a^b \left(t - \lfloor t \rfloor - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - t \right) f'(t) \, {\rm d}t \\ = f(a) \left( a - \lfloor a \rfloor - \frac{1}{2} \right) - f(b) \left( b - \lfloor b \rfloor - \frac{1}{2} \right) + \int_a^b f(t) \, {\rm d}t + \int_a^b \left(t - \lfloor t \rfloor - \frac{1}{2} \right) f'(t) \, {\rm d}t \\ = f(a) \, B_1\left( a - \lfloor a \rfloor \right) - f(b) \, B_1\left( b - \lfloor b \rfloor \right) + \int_a^b f(t) \, {\rm d}t + \int_a^b B_1\left( t - \lfloor t \rfloor \right) f'(t) \, {\rm d}t \, ,$$ где $B_1(x)$- первый многочлен Бернулли. Как упоминалось ранее,$1/2$-термы избыточны.
Последовательно интегрируя по частям, используя $\int B_n(x) \, {\rm d}x = \frac{B_{n+1}(x)}{n+1}$, вы получите формулу Эйлера-Маклорена, если $a,b$ целые числа.