Связано с сингулярным значением

Aug 18 2020

Позволять $M \in \mathbb{R}^{d\times d}$- антисимметричная матрица. Есть ли нижняя / верхняя граница или равенство между двумя величинами?$$ \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} \left|u^*Au\right|^2 \qquad \text{and} \qquad \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} u^*A^TA u \, ?$$ Правая часть - это квадрат наименьшего сингулярного значения $A$. Также обратите внимание, что$u^* A u$ должно быть чисто воображаемым, в то время как $u^* A^T A u$ должно быть настоящим.

Действительно, комментарий Стивена ниже показывает, что левая часть равна нулю. А как насчет общих матриц$A$, не обязательно антисимметричный?

Ответы

chaos Aug 22 2020 at 16:00

Спасибо Стивену за указание на неравенство Коши-Шарца: мы имеем $$ \left| u^* A u \right|^2 = \left| \left< Au, u \right> \right|^2 \leq \left< Au, Au \right> \left< u, u \right> = u^* A^T A u $$ для нормального вектора $u$ и вещественная матрица $A$, следовательно $$ \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} \left|u^*Au\right|^2 \leq \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} u^*A^TA u $$ для любой реальной матрицы $A$. Левая часть равна нулю для антисимметричных$A$.