Теорема об открытом отображении может потерпеть неудачу, если домен не банахов

Aug 16 2020

Приведите пример банахова пространства $V$, нормированное пространство $W$, ограниченное линейное сюръективное отображение $T: V \to W$ и открытое подмножество $G \subseteq V$ такой, что $T(G)$ не открыт в $W$.

Попытка : рассмотреть$V= (C([0,1], \Vert \cdot \Vert_\infty), W= (C([0,1], \Vert \cdot \Vert_1)$ и $T: V \to V: f \mapsto f$. Ясно$T$ является линейной сюръекцией с $$\Vert Tf \Vert_1 = \int_0^1 |f| \le \int_0^1 \Vert f \Vert_\infty = \Vert f \Vert_\infty$$

так $\Vert T \Vert \leq 1$ и $T$ограничено. Более того, у нас есть$\Vert f \Vert_1 \leq \Vert f \Vert_\infty$.

Теперь покажем, что $G= B_\infty(0,1)$ не открыт для $\Vert \cdot \Vert_1$. В самом деле, предположим противное, что$0$ это $\Vert \cdot \Vert_1$-внутренняя точка $G$. Тогда есть$\epsilon > 0$ такой, что

$$B_1(0, \epsilon) \subseteq G = B_\infty(0,1)$$

Таким образом, для $f \in C([0,1])\setminus \{0\}$ у нас есть $$\Vert \frac{\epsilon}{2 \Vert f \Vert_1} f \Vert_\infty \leq 1$$

Т.е. $\Vert f \Vert_\infty \leq \frac{2}{\epsilon} \Vert f \Vert_1$ за $f \in C([0,1])$. Но тогда норм$\Vert \cdot \Vert_1$ и $\Vert \cdot \Vert_\infty$ эквивалентны, откуда следует, что $W$Банах. Получили противоречие.

Вопрос : Моя попытка верна?

Ответы

1 supinf Aug 17 2020 at 12:58

Да, ваша попытка верна.

Эквивалентность норм требует обоих неравенств, поэтому было бы хорошо об этом упомянуть.

Я думаю, что это также можно улучшить, объяснив, почему $W$ не является банаховым пространством.