Триангулированы ли категории функторов с триангулированными кодоменами?
Я вполне уверен, что следующее утверждение верно (но признаюсь, что я еще не проверял аксиому октаэдра):
Позволять $T$ быть триангулированной категорией и $C$любая категория (скажем, небольшая, чтобы не тревожить моих друзей-теоретиков множества). Тогда категория функторов$C \to T$ наследует естественную триангулированную структуру от T.
Под "естественным" и "наследуемым" я подразумеваю, что карта сдвига $[1]$ в нашей категории функторов каждый $F:C \to T$ к функтору $F[1]$ удовлетворение $F[1](c) = F(c)[1]$ на каждом объекте $c$ из $C$; и аналогично выделенные треугольники функторов$$F \to G \to H \to F[1]$$ именно те, для которых над каждым объектом $c$ из $C$ у нас есть выделенный треугольник в $T$ формы $$F(c) \to G(c) \to H(c) \to F[1](c).$$
Главный вопрос, было ли это записано в какой-то стандартной книге или бумаге (я не нашел, например, у Гельфанда-Манина). Возможно, это считают слишком очевидным и относят к элементарному упражнению. В основном меня интересует наследование t-структур и сердец от$T$ в категории функторов $C \to T$, и был бы признателен за любую доступную ссылку, которая касается таких вопросов.
Ответы
Утверждение ложное.
Например, возьмем $C=[1]\times [1]$ быть квадратом и $\mathcal{T} = h\mathsf{Sp}$быть гомотопической категорией спектров. Теперь рассмотрим квадрат$X$ с участием $X(0,0) = S^2$, $X(1,0) = S^1$, а остальные значения равны нулю, а другой квадрат $Y$ с участием $Y(1,0) = S^1$ а также $Y(1,1) = S^0$. Возьми карты$S^2 \to S^1$ а также $S^1 \to S^0$ быть $\eta$, и рассмотрим естественное преобразование $X \to Y$ который получается умножением на 2 на $X(1,0)=S^1 \to S^1 = Y(1,0)$.
Если бы у этой карты был кофайбер, то от начальной до конечной вершины мы бы получили карту $S^3 \to S^0$. Следуя направлению квадрата один, мы видим, что у нас будет некий представитель скобки Тоды.$\langle \eta, 2, \eta\rangle$. Следуя другому направлению, мы учитываем ноль. Но эта скобка Тоды состоит из классов$2\nu$ а также $-2\nu$; в частности, он не содержит нуля.
[Конечно, этот пример можно обобщить на любую нетривиальную скобку Тоды / произведение Месси в любой триангулированной категории, с которой вы более знакомы.]
Действительно, скобка Тоды и есть препятствие к «заполнению куба» для естественного преобразования $X \to Y$.
В любом случае - это одна из многих причин отказаться от триангулированных категорий в пользу одной из многих современных альтернатив (например, стабильной $\infty$-категории, производные и т. д.).
Что касается т-структур и так далее, в стране стабильных $\infty$-категории, которые легко найти. (См., Например, раздел 1.2.1 Высшей алгебры и предложение 1.4.4.11, где описаны различные приемы их построения.)
Пример Дилана Уилсона превосходен. Позвольте предложить еще одну, более алгебраическую и «конечную».
На мой взгляд, простейшая триангулированная категория $\mathcal{T}$ - категория конечномерных векторных пространств над полем $k$, с функтором приостановки идентичности (он же перевод) и $3$-периодические длинные точные последовательности как точные треугольники. (На самом деле это единственная триангулированная структура, которую несет$\mathcal{T}$ с точностью до эквивалентности.)
Позволять $C_2$ циклическая группа порядка $2$(рассматривается как категория с одним объектом). Тогда категория функторов$\mathcal{T}^{C_2}$ категория конечно порожденных модулей над групповой алгеброй $k[C_2]$. Это то же самое, что и категория конечно порожденных проективных модулей над так называемой алгеброй Ауслендера.$B$ из $k[C_2]$. В результате Фрейд, если$\mathcal{T}^{C_2}$ были триангулированы тогда $B$ будет самоинъективным.
Если $k$ имеет характерный $2$, $k[C_2]\cong k[\epsilon]/(\epsilon^2)$ является алгеброй двойственных чисел и $B$ является алгеброй эндоморфизмов $k[\epsilon]/(\epsilon^2)$-модуль $k\oplus k[\epsilon]/(\epsilon^2)$. Этот$B$не самоинъективен. Действительно, поскольку$k$ имеет характерный $2$, $k[\epsilon]/(\epsilon^2)$ не полупростой, поэтому $B$ имеет глобальное измерение $2$. Если$B$ были бы самоинъективными, они имели бы глобальное измерение либо $0$ или же $\infty$.
Думаю, у меня есть более простой контрпример, который я узнал из курса Пола Балмера по тензорно-треугольной геометрии прошлой весной:
Заявить о категории стрелки$\mathcal{T}^{\bullet \to \bullet}$ триангулированной категории $\mathcal{T}$ никогда не имеет триангулированной структуры, если только$\mathcal{T} = 0$. На самом деле нам даже не нужно$\mathcal{T}$ триангулировать здесь: если $\mathcal{T}$ - любая аддитивная категория такая, что $\mathcal{T}^{\bullet \to \bullet}$ триангулирован, то $\mathcal{T} = 0$.
Доказательство: предположим$\mathcal{T}$ аддитивная категория такая, что $\mathcal{T}^{\bullet \to \bullet}$триангулирован. Позволять$a$ быть произвольным объектом в $\mathcal{T}$, с морфизмом идентичности $1_a : a \to a$. Позволять$t$ обозначим уникальный морфизм $a \to 0$. потом$\require{AMScd}$ \ begin {CD} a @> 1_a >> a \\ @V 1_a VV @VV t V \\ a @ >> t> 0 \ end {CD} определяет морфизм$\alpha : 1_a \to t$ в $\mathcal{T}^{\bullet \to \bullet}$. Обратите внимание, что$\alpha$это эпиморфизм. В любой триангулированной категории все эпиморфизмы расщепляются, поэтому пусть$\beta : t \to 1_a$ быть разделением $\alpha$ (это, $\alpha \circ \beta$ является морфизмом идентичности $t$). потом$\beta$- коммутативная диаграмма \ begin {CD} a @> t >> 0 \\ @V f VV @VVs V \\ a @ >> 1_a> a \ end {CD} такая, что$1_a \circ f = 1_a$ (а также $t \circ s = 1_0$). Из этого и из коммутативности диаграммы мы видим, что$1_a = 1_a \circ f = s \circ t$ факторы через $0$. Таким образом,$a = 0$. С$a$ был произвольным, $\mathcal{T} = 0$.
Изменить: Конечно, мы могли бы сделать заявление еще слабее: нам действительно нужно только это $\mathcal{T}$имеет нулевой объект. Но если$\mathcal{T}^{\bullet \to \bullet}$ триангулирован, то $\mathcal{T}$ должен быть аддитивным, потому что он внедряется как аддитивная подкатегория $\mathcal{T}^{\bullet \to \bullet}$ через $a \mapsto 1_a$.