Уникальное определение аналитических компонентов функции, определенной в кольце
В своей книге «Комплексный анализ» (5.1.3), говоря о рядах Лорана, Альфорс показывает, что сложная функция$f(z)$, аналитическая в кольце $R_1 < |z-a| < R_2$, всегда можно записать как
[...] сумма $f_1(z) + f_2(z)$ где $f_1$ является аналитическим для $|z-a|<R_2$ и $f_2$ является аналитическим для $|z-a|>R_1$ со съемной особенностью при $\infty$.
где
$$f_1(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_{|\zeta-a|=r} \frac{f(\zeta) d\zeta}{\zeta-z} \text{ for $| za | <г <R_2$ } $$
$$f_2(z) = - \frac{1}{2\pi i} \int_{|\zeta - a|=r} \frac{f(\zeta)d\zeta}{\zeta-z} \text{ for $R_1 <r <| za |$}$$
Тогда, поскольку значение $r$это «не имеет значения, пока выполняется неравенство» ,$f_1$ и $f_2$ однозначно определены и представляют собой аналитические функции в $|z-a|<R_2$ и $|z-a|>R_1$соответственно (см. также этот вопрос и ответы ).
Я пытаюсь понять, что это значит для $f_1$ и $f_2$быть однозначно определенным . Что, если я возьму, например$f_3(z)=f_1(z)+z$ и $f_4(z)=f_2(z)-z$? Мне все еще кажется верным, что$f_3(z) + f_4(z) = f(z)$ и $f_3(z)$ аналитичен в $|z-a|<R_2$, в то время как $f_4(z)$ кажется аналитичным в $|z-a|>R_1$ (не уверен, что мы можем сказать на бесконечности; кроме того, я не понимаю, как я мог бы написать $-z$ как сумму отрицательных степеней).
Я спрашиваю об этом также в свете того, что говорит Пенроуз в своей книге «Дорога к реальности» (9.3), когда (объясняя расщепление частот на сфере Римана) он говорит:
Мы думаем о нашем разделении $F(z)$ выражая его как сумму двух частей, одна из которых голоморфно простирается в южное полушарие, называемая частью положительной частоты $F(z)$- как определено $F^\mathbf{+}(z)$, вместе с любой частью постоянного члена, которую мы решим включить, и другой, голоморфно простирающейся в северное полушарие - называемой частью отрицательной частоты $F(z)$ как определено $F^\mathbf{-}(z)$и оставшаяся часть постоянного члена. Если мы проигнорируем постоянный член, это расщепление однозначно определяется этим требованием голоморфности для расширения в одно или другое из двух полушарий.
Вот $F(z)$- функция, которая «голоморфна в некоторой открытой области, включая единичную окружность» .
Итак, в этом случае $F^\mathbf{+}$ и $F^\mathbf{-}$уникальный (не считая постоянного члена)? Затем$F^\mathbf{-}=f_1$ и $F^\mathbf{+}=f_2$? Возможно, это тоже связано с уникальностью разработки Лорана$F$ (упражнение от Альфорса, тот же раздел), но я не могу понять, как это сделать.
Спасибо и извините за глупый (возможно) вопрос!
Ответы
Функция $f_2$ имеет устранимую особенность при $\infty$. Это означает, что предел$\lim_{z\to\infty}f_2(z)$ существует (в $\Bbb C$). Если$f_4(z)=f_2(z)-z$, То это не правда , что$\lim_{z\to\infty}f_4(z)$ существует (опять же, в $\Bbb C$).