В чем разница между Path $\infty$-groupoid и Smooth Fundamental $\infty$-группоид из гладкого пространства?

Question

Пару дней назад я задал вопрос. Существует ли геометрическая / гладкая версия гипотезы гомотопии с использованием пути$\infty$-Группоид гладкого пространства? в МО о существовании возможной гладкой / геометрической версии гипотезы гомотопии с использованием понятия пути$\infty$-группоид гладкого пространства.

После обсуждения в разделе комментариев с @David Roberts я почувствовал (но не до конца убедился), что хотя Path 1-groupoid и сглаженный фундаментальный 1-groupoid гладкого пространства - это совершенно разные объекты, но «если мы переместимся на уровень бесконечности» и представить их как Комплексы Кан, тогда они станут одним и тем же объектом.

3 месяца назад я задал следующий МО- вопрос. Какова геометрическая реализация нерва фундаментального группоида пространства? .

Из обсуждений в

1. Существует ли геометрическая / гладкая версия гипотезы гомотопии с использованием пути $\infty$-Группоид гладкого пространства?

2. Какова геометрическая реализация нерва фундаментального группоида пространства?

Теперь у меня есть следующие вопросы / сомнения:

Мы знаем, что построение гладкого фундаментального 1-группоида и линейного 1-группоида гладкого пространства индуцирует естественные функторы $Man \rightarrow Groupoids$. Теперь из обсуждения в разделе Какова геометрическая реализация нерва фундаментального группоида пространства? Я ожидаю этого$|N \circ \pi_{\leq 1}(X)|$ содержит всю информацию о первых гомотопических группах гладкого пространства $X$ где $N$- нервный функтор,$\pi_{\leq 1}$является гладким фундаментальным 1-группоидным функтором и$|-|$- функтор геометрической реализации . Теперь мы можем повторить ту же процедуру с функтором Path 1-Groupoid$\pi'_{\leq 1}: Man \rightarrow Groupoids$.

У меня следующие вопросы:

1. Является $|N \circ \pi_{\leq 1}(X)|= |N \circ \pi'_{\leq 1}(X)|$? (где "$=$"в соответствующем смысле")

2. Есть ли способ представить Путь $\infty$-группоид гладкого пространства, отличного от Smooth Fundamental $\infty$-группоид пространства? (Чтобы это соответствовало нашей интуиции$n=1$ дело)

(По "$n$«Я имею в виду« Группоиды на уровне 1 »).

Answer 1

Я могу ответить только на ваш первый вопрос, и ответ - нет. Взять к примеру$X=\mathbb{R}^2$, так что фундаментальный группоид тривиален, но группоид путей содержит различные стрелки, представленные кружками любого положительного радиуса, проходящими через фиксированную базовую точку (и многие многие другие). Это игнорирование всех вопросов топологии или гладкой структуры на множестве стрелок, что, я думаю, является вашим намерением. Таким образом, геометрические реализации нервов этих нервов не могут быть даже слабо гомотопически эквивалентными, поскольку одна из них стягиваема, а другая имеет фундаментальную группу, которая даже не является конечно порожденной.