В контексте ДПФ, где находится частотная выборка Найквиста в двустороннем частотном спектре (положительная / отрицательная сторона)?

Question

Если у нас четное количество точек данных $N$, после DFT в MATLAB вывод имеет порядок:

$$(\text{DC}, f_1, f_2, \ldots, f_{N/2-1}, f_\text{Nyq}, -f_{N/2-1}, -f_{N/2-2}, \ldots, -f_1)$$

Для реальных сигналов первый выход, соответствующий $k$= 0, действительна, как и частота Найквиста. После этого числа являются комплексно сопряженными.

Если нас интересует односторонний спектр, частота Найквиста показана с положительной стороны.

Однако при построении двустороннего частотного спектра многие авторы считают частоту Найквиста отрицательной стороной.

Некоторые программы, например OriginPro, действуют наоборот. Есть ли принципиально правильный способ или это просто соглашение, т. Е.

$$ \text { If } N \text { is even, } \quad k\quad\text { takes: }-\frac{N}{2}, \ldots,-1,0,1, \ldots, \frac{N}{2}-1 $$

В качестве альтернативы, $$ \text { If } N \text { is even, } \quad k \text { takes: } -\frac{N}{2}-1, \ldots,-1,0,1, \ldots, \frac{N}{2}$$

где $k$ - индексный вектор ДПФ, который используется для построения оси частот как

$$\text {Frequency axis}=k/ N\Delta t$$

где $\Delta t$ - интервал выборки.

Многие люди говорят, что это всего лишь условность, и обе верны. Благодарю.

Answer 1

Это соглашение, они эквивалентны:

$$ \exp{\left(j2 \pi \frac{N}{2}n/N \right)} = \exp{\left(j2\pi \frac{-N}{2}n/N\right)} \\ \Rightarrow e^{j\pi n} = e^{-j \pi n} \Rightarrow \cos(\pi n) = \cos(-\pi n)=(-1)^n,\ j\sin(\pi n) = j\sin(-\pi n) = 0 $$

MATLAB и Numpy идут $[-N/2, ..., N/2-1]$, что плохо для аналитических представлений (только + freqs). Обратите внимание, что его значение удваивается по сравнению с другими ячейками (но не вручную; они коррелируют таким образом), поэтому в некотором смысле это и отрицательная, и положительная частота, поэтому энергия сохраняется:

Вы можете указать предпочтения библиотеки по fftshift документам :

Answer 2

Предполагая $x[n]$ реально, в результате $X[k]$будучи «эрмитово симметричным» ;

$$ X[N-k] = (X[k])^* $$

и если $N$ четно, то значение в ячейке ДПФ $X[\tfrac{N}{2}]$(которая является действительной величиной с нулевой мнимой частью) следует разделить на две равные половины. Одна половина должна быть размещена на$k=-\tfrac{N}{2}$ а другая половина размещена на $k=+\tfrac{N}{2}$.

Этот предыдущий ответ касается этого.