Версия теоремы Гурвица

Question

Вопрос : Пусть$\{f_n\}$ - последовательность аналитических функций в $\mathbb{C}$ которые сходятся равномерно на компактных подмножествах $\mathbb{C}$ к многочлену $p$ степени $m$. Докажи это для$n$ достаточно большой, $f_n$ имеет по крайней мере $m$ нули (с учетом кратностей).

Попытка : я знаю, что это версия теоремы Гурвица, но я не хочу просто сказать «Гурвица». Если$f_n$ идентично $0$, то проблема тривиальна, поэтому предположим, что это не так. Для любой точки$z_0\in\mathbb{C}$, существует $r>0$, так что $0<|z-z_0|\leq r$. Позволять$|z-z_0|=r$ быть кругом $C$. Тогда равномерной сходимостью на$C$ (поскольку $C$ компактна, поскольку представляет собой круг) имеем $\frac{1}{f_n(z)}\rightarrow\frac{1}{p(z)}$, и $\frac{1}{f'_n(z)}\rightarrow\frac{1}{p'(z)}$. Так,$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f'_n(z)}{f_n(z)}dz=\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{p'(z)}{p(z)}dz.$$ Следовательно, поскольку интеграл на LHS дает количество нулей $f_n(z)=0$ внутри $C$, Мы видим, что $f_n$ и $p$ иметь одинаковое количество нулей внутри $C$. Сдача$r\rightarrow\infty$ дает результат на $\mathbb{C}$.

Вы не видите ничего плохого в доказательстве? В частности, что-то происходит с "для$n$ Достаточно большая "или" подсчет множественных "частей проблемы, с которыми я должен быть осторожен? Любая помощь приветствуется! Спасибо.

Answer 1

У вашего аргумента есть некоторые проблемы:

Для любой точки $z_0\in\mathbb{C}$, существует $r>0$, так что $0<|z-z_0|\leq r$.

Что такое $z$ Вот?

Тогда равномерной сходимостью на $C$ (поскольку $C$ компактна, поскольку представляет собой круг) имеем $\frac{1}{f_n(z)}\rightarrow\frac{1}{p(z)}$, ...

Вам это нужно $p(z) \ne 0$ на $C$ для этого вывода.

... и $\frac{1}{f'_n(z)}\rightarrow\frac{1}{p'(z)}$.

Это может быть, но вам нужно это $f_n'(z) \to p'(z)$ на $C$.

Я бы начал со следующего: во-первых, мы можем предположить, что степень $m$ из $p$ есть хотя бы один (иначе показывать нечего), так что $p$- непостоянный многочлен. Тогда выбирай$r > 0$ настолько большой, что все корни $p$ внутри $\{ |z| < r \}$. Теперь рассмотрим круг$C$ с центром в начале координат с радиусом $r$. Обратите внимание, что$p$ не равно нулю на $C$.

Наконец показать, что $f_n'/f \to p'/p$ равномерно на $C$и применим принцип аргумента.