Всегда ли возможно разделить $[a,b]\times[c,d]$ на непересекающиеся блоки $D_{ij}$ ул $\left.f\right|_{D_{ij}}$ биективно?
Рассмотрим функцию, задаваемую $f:[a,b]\times[c,d]\to[0,1]^{2}$ такой, что $0\leq a < b \leq 1$, $0 \leq c < d \leq 1$.
Более того, у нас также есть $f\in C^{1}([a,b]\times[c,d],[0,1]^{2})$ и это сюръективно.
Мой вопрос
Всегда ли возможно разделить $[a,b]\times[c,d]$ на непересекающиеся блоки $D_{ij} = [x_{i},x_{i+1}]\times[y_{j},y_{j+1}]$, где $1\leq i \leq m$ и $1\leq j\leq n$, так что $\left.f\right|_{D_{ij}}$ биективно?
Если да, то есть ли минимальное количество блоков $D_{ij}$ что удовлетворяет этому ограничению?
Здесь я предполагаю, что функция $f$ нигде не постоянна и $|f^{-1}(\{(x,y)\})| < N$ для каждого $(x,y)\in[0,1]^{2}$.
Такой вопрос не является домашним заданием. Это произошло из моих личных исследований.
Если этот вопрос не подходит для этого сайта, дайте мне знать.
РЕДАКТИРОВАТЬ
Ответ на следующий вопрос здесь .
Ответы
Ответ - нет.
Например, пусть $[a,b]=[c,d]=[0,1]$ и $$f(x,y):=(g(x),y)$$ за $(x,y)\in[0,1]^2$, где $$g(x):=c\,h(x),$$ $$h(x):=x^p (1+a \sin\ln x)$$ за $x\in(0,1]$ с участием $h(0):=0$, $$p\in(1,\infty),\quad1>a>\frac p{\sqrt{p^2+1}},\tag{0}$$ и $c:=1/\max_{x\in[0,1]}h(x)$. потом$f$ сюръективно $C^1$ карта из $[0,1]^2$ к $[0,1]^2$.
Также для любого $(x,y)\in[0,1]^2$, Любые $u\in(0,1]$, и любые $v\in[0,1]$ равенство $f(x,y)=(u,v)$ подразумевает $y=v$ и $$\Big(\frac{u/c}{1+a}\Big)^{1/p}\le x\le\Big(\frac{u/c}{1-a}\Big)^{1/p}$$ и, следовательно $$\frac{\ln(u/c)}p-\frac{\ln(1+a)}p\le \ln x\le\frac{\ln(u/c)}p-\frac{\ln(1-a)}p,\tag{1}$$ так что $\ln x$ варьируется не более чем на $\frac{\ln(1+a)}p-\frac{\ln(1-a)}p=O(1)$ равномерно в $u\in(0,1]$.
Также, $$g'(x)=cx^{p-1} [p+a (p \sin\ln x+\cos\ln x)] \\ =cx^{p-1} [p+a\sqrt{p^2+1}\,\sin(t+\ln x)]\tag{2}$$ для некоторых настоящих $t$ (зависит только от $p$ и $a$) и все $x\in(0,1]$.
Итак, учитывая условие (1), $g'(x)$ может изменить знак не более чем $n$ раз, для некоторых естественных $n$ в зависимости только от $p$ и $a$. Следовательно,$|f^{-1}(u,v)|\le n+1$ для любой $(u,v)\in(0,1]\times[0,1]$. Также,$f^{-1}(0,v)=\{(0,v)\}$ для любой $v\in[0,1]$. Так,$|f^{-1}(u,v)|\le n+1$ для любой $(u,v)\in[0,1]\times[0,1]$.
С другой стороны, из (2) и (0) следует, что $g'$ меняет знак бесконечно много раз в любой правой окрестности $0$. Следовательно, ограничение$f$ в любой прямоугольник с вершиной в $(0,0)$ не является биективным.
Для иллюстрации ниже представлены графики $\{(e^{-1/t},\ln h(e^{-1/t}))\colon0<t<1\}$ (слева) и $\{(e^{-1/t},\ln h(e^{-1/t}))\colon0<t<0.1\}$ (право) для $p=3/2$ и $a=9/10$. Эти графики являются нелинейно масштабируемыми (по горизонтали и вертикали, для лучшего восприятия) версиями графика функции.$h$ в правильном районе $0$.
