Вычисление производного функтора для простого модуля

Question

Рассматривать $M =\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ как $R = \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$модуль. Я пытаюсь подсчитать что$Ext_{R}^n(M,M)$ для всех $M$. С этой целью я позволил

$$\cdots \xrightarrow{\times 3} \mathbb{Z}/9\mathbb{Z} \xrightarrow{\times 3} \mathbb{Z}/9\mathbb{Z} \xrightarrow{\times 3}\mathbb{Z}/9\mathbb{Z} \xrightarrow{\text{projection}} \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \rightarrow 0$$

- свободная (а значит, проективная) резольвента. Вычислять$Ext_{R}^n(M,M)$, Я сейчас просто возьму группы гомологий $$0 \rightarrow \text{Hom}(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z},\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})\xrightarrow{\times 3}\text{Hom}(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z},\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})\xrightarrow{\times 3}\text{Hom}(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z},\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})\xrightarrow{\times 3} \cdots.$$ поскольку $\text{Hom}(R,M) \cong M$, это всего лишь цепочка $$0\rightarrow \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \xrightarrow{\times 3} \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \xrightarrow{\times 3} \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\xrightarrow{\times 3} \cdots$$ так что все ядра $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ и изображения просто $0$ так что $Ext_R^N(M,M) = \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ для всех $n$. Это правильно, допустил ли я небольшую ошибку или я совершенно неправильно понял что-то важное? (Или оба!)

Answer 1

Вы допустили небольшую ошибку: обратите внимание, что если у вас есть правильный точный функтор $F$, и вы хотите вычислить $L_*F(X)$, вы берете проективное разрешение $P_*\to X$ а затем возьмем гомологии $F(P_*)$, а не гомологии$F(P_*\to X)$.

Итак, ваша небольшая ошибка состоит в том, что вы ищете группы гомологии $\hom(\mathbb Z/3,\mathbb Z/3)\to \hom(\mathbb Z/9,\mathbb Z/3) \to \hom(\mathbb Z/9,\mathbb Z/3) \to \dots$

(обратите внимание, кстати, что первая карта будет отождествлена ​​с идентификатором $\mathbb Z/3\to\mathbb Z/3$, не с $\times 3$, так как это двойник проекции $\mathbb Z/9\to\mathbb Z/3$)

Цепной комплекс, гомологию которого вы ищете, имеет только $\hom(\mathbb Z/9,\mathbb Z/3)$в нем. Однако он дает результат, о котором вы говорите.