Вычислить некоторые интегралы с использованием эллиптических функций Якоби.

Question

Я хочу оценить следующие интегралы $$\displaystyle \int_{0}^{K} \text{dn}^3(u;k)\text{sn}(u;k)^2\;\text{du},\tag{1}$$ и $$\displaystyle \int_{0}^{K} \text{dn}(u;k)\text{sn}(u;k)^2\text{cn}(u;k)^2\;\text{du},\tag{2}$$ где $\text{sn}$, $\text{dn}$ и $\text{cn}$являются Якоби Эллиптические snoidal , dnoidal и кноидальные функции,$K:=K(k)$ - полный эллиптический интеграл первого рода и число $k \in \left(0,1\right)$ называется модулем.

Я уже обращался к ссылке $[1]$в поисках формулы, которая мне помогает, но ничего не нашла. Имеют ли эти интегралы явный вид? Могу ли я обратиться к другим справочным материалам, чтобы помочь мне?

$[1]$П.Ф. Берд. МД Фридман. Справочник эллиптических интегралов для инженеров и ученых. Springer-Verlag New York Heidelberg Berlim,$1971$.

Answer 1

Посредством фундаментальных соотношений (B&F 121.00) $\newcommand{sn}{\operatorname{sn}}\newcommand{cn}{\operatorname{cn}}\newcommand{dn}{\operatorname{dn}}$ $$\sn^2u+\cn^2u=1$$ $$k^2\sn^2u+\dn^2u=1$$ мы можем преобразовать первый данный интеграл к $$\int_0^K\dn u(1-k^2\sn^2u)\sn^2u\,du$$ Используя B&F 364.03, мы можем переписать это как полностью рациональный интеграл, который легко вычисляется: $$=2\int_0^1\left(\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^2-k^2\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^4\right)\frac1{1+t^2}\,dt=\frac{\pi(4-3k^2)}{16}$$ При преобразовании второго заданного интеграла получаем $$\int_0^K\dn u(1-\sn^2u)\sn^2u\,du$$ в этот момент мы понимаем, что это просто частный случай первого данного интеграла с $k^2=1$, поэтому сразу получаем результат в виде $\frac\pi{16}$.