Вычислить полный угловой момент объекта, вращающегося вокруг двух осей (например, Земли)
Рассмотрим Землю. Он вращается вокруг своей оси (проходя через полюса) с некоторой угловой скоростью.$\vec\omega$, а вокруг Солнца с некоторой угловой скоростью $\vec\Omega$.
В каждом учебнике / веб-странице, которую я видел до сих пор, я видел, как угловой момент, связанный с вращением Солнца по орбите, рассчитывается отдельно от момента количества движения, обусловленного вращением Земли вокруг своей оси.
Отлично. Но как мне получить полный угловой момент Земли?
Мне известен следующий ответ: угловой момент вращающегося и вращающегося тела (земли) , но я не думаю, что он отвечает на вопрос. Ответ использует угловую скорость$\vec {\boldsymbol{\omega}}$- но как получить эту скорость, если объект вращается вокруг двух осей? Теорема Эйлера о вращении неприменима, потому что одна из осей не находится на объекте.
Поэтому я повторю вопрос: учитывая орбитальную угловую скорость $\vec\Omega$ и угловая скорость относительно земной оси $\vec\omega$, как мне найти полный угловой момент Земли (или объекта, демонстрирующего аналогичное описание вращения с одной осью вращения на теле, а другая - выключенной)?
Ответы
Во-первых, представьте, что вращение Земли находится под углом к оси орбиты.
Вот $$\begin{array}{r|c|c|c}\\ \text{Quantity} & \text{Symbol} & \text{Value} & \text{Units} \\ \hline \text{orbital distance} & R & 1 & \text{AU} \\ & & 1.496\cdot 10^{11} & \text{m} \\ \text{orbital speed} & \Omega & 1 & \text{rev/year} \\ & & 1.991\cdot 10^{-7} & \text{rad/s} \\ \text{spin} & \omega & 1 & \text{rev/day} \\ & & 7.2921\cdot 10^{-5} & \text{rad/s} \\ \text{axial tilt} & \theta & 23.4 & \deg \\ & & 0.4084 & \text{rad} \end{array}$$
Комбинированный поворот (учитывая заголовок об отрицательной оси x сверху) равен
$$ \vec{w} = \pmatrix{0 \\ 0 \\ 1.991 \cdot 10^{-7}} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & \sin \theta \\ 0 & -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \pmatrix{0\\0\\7.2921 \cdot 10^{-5} } = \pmatrix{0 \\ 2.8961\cdot 10^{-5} \\ 6.7123\cdot 10^{-5} }\; \text{[rad/s]} $$
который можно перевести на
$$ \vec{w} = \pmatrix{0 \\ 5.9735 \\ 13.845 } \; \text{[deg/hr]}$$
Что интересно, вы можете вычислить мгновенный центр вращения Земли относительно Земли. $(c_y,c_z)$ ($c_z$показано ниже отрицательное). Это точка, вокруг которой на самом деле вращается Земля.
Чтобы найти точку, вычислите орбитальную скорость (положительная ось x находится вне страницы)
$$ \vec{v} = \vec{\Omega} \times \pmatrix{0\\-R\\0} = \pmatrix{ 2.9785\cdot 10^{4} \\ 0 \\0} \;\text{[m/s]}$$
а затем центр вращения
$$ \pmatrix{ 0 \\ c_y \\ -c_z} = \frac{ \vec{w} \times \vec{v}}{ \| \vec{w} \|^2} = \pmatrix{0 \\ 3.7410\cdot 10^{8} \\ -1.6141\cdot 10^{8} }\;\text{[m]} $$
что интересно в единицах измерения расстояния до Луны (1 LD = 384402000 м )
$$ \pmatrix{ 0 \\ c_y \\ -c_z} = \pmatrix{ 0 \\ 0.9732 \\ -0.4199 }\;\text{[LD]} $$
что всегда почти на один LD по направлению к солнцу, половина LD под землей в период летнего солнцестояния и половина LD над землей в период зимнего солнцестояния.
Теперь, когда кинематика Земли установлена, мы можем говорить о динамике.
Земля вращается с $\vec{w}$ и поэтому его угловой момент в центре Земли равен $$\vec{L}_E = \mathrm{I}_E\, \vec{w}$$ где ${\rm I}_E$ - момент инерции Земли.
Но поскольку Земля тоже движется, она имеет линейный импульс. $$ \vec{p} = m_E \vec{v}$$.
Чтобы вычислить момент количества движения Земли относительно Солнца, мы объединяем обе величины по следующему правилу
$$ \vec{L}_S = \vec{L}_E + \pmatrix{0\\-R\\0} \times \vec{p} $$
Если вы сделаете расчет, вы обнаружите, что большая часть углового момента идет вдоль оси z с небольшой составляющей вдоль оси y .
Интересно то, что вы можете найти место в космосе, через которое проходит ось удара земли. Подобно вышеизложенному, эта точка
$$ \pmatrix{0\\h_y\\h_z} = \frac{ \vec{p} \times \vec{L}_E}{ \| \vec{p} \|^2} $$
Значение этой точки в пространстве состоит в том, что если бы вы применили равный и противоположный импульс $\vec{p}$к Земле через центр удара Земля не только перестанет вращаться по орбите, но и перестанет вращаться . Вы можете удалить всю кинетическую энергию земли одним импульсом через эту точку. Это остановит землю на своем пути.
Удивительно, но правило сложения двух угловых скоростей не зависит от того, проходят ли «оси этих угловых скоростей» через объект или нет и пересекаются они или нет.
Угловая скорость тела не зависит от вашего выбора инерциальной системы отсчета. Предположим, у нас есть стрелка, прикрепленная к телу; на данный момент$t_0$ эта стрела указала на далекую звезду $A$; на данный момент$t_1$ эта стрела указала на другую далекую звезду $B$- ну, если это правда, то это верно во всех инерциальных системах отсчета. А насколько быстро меняется ориентация тела - это не зависит от системы отсчета (пока система отсчета инерционная).
Теперь давайте измерим общую угловую скорость Земли. Можно сначала измерить его в системе отсчета, прикрепленной к Солнцу и вращающейся таким образом, что скорость Земли равна нулю. Скажем, угловая скорость Земли в этой системе отсчета равна$\vec\omega$. Угловая скорость системы отсчета равна$\vec\Omega$, поэтому полная угловая скорость Земли равна $\vec\omega + \vec\Omega$. Это вектор, направленный к Полярной звезде, его величина примерно$1/86164sec$ - где 86164 - количество секунд в звездных сутках, то есть период вращения Земли относительно далеких звезд.
А теперь перейдем ко второй части вашего вопроса: «В каждом учебнике / веб-странице, которую я видел до сих пор, я видел, как угловой момент, связанный с вращением вокруг Солнца, рассчитывается отдельно от момента количества движения из-за вращения Земли вокруг собственной оси. "
На этот раз система отсчета привязана к Солнцу и является инерциальной. «Честный» способ вычисления полного углового момента Земли в этой системе отсчета - это разделить Землю на множество мелких частей, вычислить импульс каждой части и суммировать результаты. Более простой способ - вычислить количество движения вокруг центра масс Земли, чем вычислить количество движения Земли, как если бы вся ее масса находится в ее центре масс, и сложить эти два вектора. Итоговый результат будет таким же - это простая математическая теорема.
Обратите внимание, что импульс вращения Земли вокруг своей оси намного меньше, чем импульс вращения Земли вокруг Солнца. Что еще более важно, не только полный импульс Эрата (то есть сумма этих двух векторов) постоянен во времени, каждый из этих компонентов постоянен сам по себе! (игнорируем влияние Луны и других планет). Итак, если вы хотите вычислить детали того, как скорость Земли зависит от расстояния до Солнца (законы Кеплера) - вы можете смело игнорировать часть углового момента Земли, связанную с «вращением вокруг собственной оси».