Выпуклая мера риска дисперсии

Question

Надеюсь, вы поможете мне с этим вопросом, с которым я действительно борюсь. Является ли дисперсия выпуклой мерой риска? Думаю, нет, но мне очень трудно найти контрпример.

Вот мои мысли. Я попытался найти пример, где:$var(\lambda X+(1-\lambda)Y))>\lambda var(X)+(1-\lambda)var(Y)$. я знаю это$var(\lambda X+(1-\lambda) Y)= \lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)cov(X,Y)$ $=\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)corr(X,Y)sd(X)sd(Y)$.

Теперь, если корреляция максимальная, и в этом случае $corr(X,Y)=1$ тогда:$\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)corr(X,Y)sd(X)sd(Y)=\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda(1-\lambda)sd(X)sd(Y)=(\lambda sd(X)+(1-\lambda)sd(Y))^2$.

Но я до сих пор не могу найти ни одного примера, где это больше, чем $\lambda var(X)+(1-\lambda)var(Y)$.

Вы можете мне что-нибудь подсказать? Я очень это ценю.

Answer 1

Давайте рассмотрим ваш случай максимальной корреляции. Вы пытаетесь найти такие ценности, что

$$(\lambda \sigma_x+(1-\lambda)\sigma_y)^2>\lambda\sigma_ x^2 + (1-\lambda)\sigma_y^2$$

или

$$\lambda^2 \sigma_x^2+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)+(1-\lambda)^2\sigma_y^2>\lambda\sigma_ x^2 + (1-\lambda)\sigma_y^2$$

или

$$\lambda(\lambda-1)\sigma_x^2+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)-\lambda(1-\lambda)\sigma_y^2>0 $$

или

$$\lambda(\lambda-1)(\sigma_x^2+\sigma_y^2)+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)>0 $$

или

$$\lambda(\lambda-1)(\sigma_x-\sigma_y)^2>0 $$

что явно никогда не верно для любого $0\leq\lambda\leq 1.$ Поскольку LHS максимальна в случае максимальной корреляции:

$$Var(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq \lambda Var( x)+(1-\lambda)Var(y)$$

а дисперсия - это выпуклая мера риска.