$A$ ก็ไม่มีประโยชน์แล้ว $I+\lambda A$ ไม่สามารถกลับด้านได้สำหรับใด ๆ $\lambda \in \mathbb{R}$

Question

ฉันต้องการความช่วยเหลือในปัญหานี้
ให้$A$ คือเมทริกซ์จริงกำลังสองเช่นนั้น $A^{n}=0$ สำหรับจำนวนเต็มบวก $n .$เมทริกซ์ดังกล่าวเรียกว่า nilpotent แสดงว่าถ้า$A$ ก็ไม่มีประโยชน์แล้ว $I+\lambda A$ ไม่สามารถกลับด้านได้สำหรับใด ๆ $\lambda \in \mathbb{R}$

ฉันรู้ว่าสำหรับ $\lambda = 1$ มันเป็นความจริงโดย
$$\left(A+I\right)\left(I-A+A^2-...+(-1)^n A^{n-1}\right) = I +(-1)^{n-1} A^n = I$$ จึงพิสูจน์ได้ว่า $A+I$ ไม่สามารถกลับด้านได้สำหรับสิ่งที่ไม่ดีใด ๆ $A$.

แต่ฉันไม่รู้ว่านี่เป็นเรื่องจริงหรือเปล่า $\lambda$.

Answer 1

เรามี $(I+\lambda A)(I-\lambda A+\lambda^2A^2-...)=I$.

Answer 2

คำแนะนำ: เนื่องจากคุณรู้แล้วว่า $A$ ก็ไม่มีประโยชน์แล้ว $I+A$ เป็นหน่วยคุณอาจสังเกตว่า $\lambda A$ ไม่มีจุดเด่นและสรุปได้

Answer 3

คุณยังสามารถแสดงความขัดแย้งได้ดังนี้:

สำหรับ $\lambda = 0$ ไม่มีอะไรจะแสดง

จึงขอ $\lambda \neq 0$ และสมมติว่า $I+\lambda A$ ไม่สามารถกลับด้านได้ $$\Rightarrow \det (I+\lambda A)=0 \Rightarrow \det \left(A - \mu I\right)=0 \text{ with } \mu = -\frac 1{\lambda} \neq 0$$

ดังนั้น, $\mu\neq 0$ จะเป็นค่าเฉพาะของ $A$. ตั้งแต่$A$ เป็นสิ่งที่ไม่ดีเราจะมี $\mu = 0$ซึ่งเป็นความขัดแย้ง

Answer 4

ฉันกำลังทะลึ่ง $A$ มันจบแล้ว $\mathbb{R}$ ด้วยดัชนี nilpotent $k$

เผื่อ $\lambda = 0$ : $(I - \lambda A) = I$และกลับไม่ได้
เผื่อ$\lambda \not= 0$: เราจะใช้คำนามถัดไปนี้

---

lemma:ถ้า$B$ เป็นเมทริกซ์ที่ไม่มีจุดเด่นที่แท้จริง $B$ไม่มีค่าลักษณะเฉพาะที่ไม่ใช่ศูนย์จริง
หลักฐาน:

ให้เราสมมติ $B$ ไม่มีดัชนี $r$.
เราคิดว่ามันมีค่าลักษณะเฉพาะที่แท้จริง -$\xi$

ตามความหมายหมายความว่ามีเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ $v$ ดังนั้น-

$Bv = \xi v$

ดังนั้น, $B^2v = B(B(v)) = B(\xi v) = \xi B(v) = \xi^2 v$
โดยทั่วไปมันไม่ยากที่จะแสดงให้เห็นโดยการชักนำสิ่งนั้น
$\forall n \in \mathbb{N} : B^n (v) = \xi ^n v$

ด้วยสิ่งนั้นเราจะได้รับ: $B ^r (v) = \xi ^r v$
แต่ยัง $B ^r (v) = O (v) = \underline0$

ดังนั้น - $\xi ^r v = \underline0$.
แต่$v \not= \underline0$ ดังนั้นเราต้องได้รับ $\xi ^r = 0$ - ซึ่งโดยรวมหมายความว่า:
$\xi = 0$
$Q.E.D$

---

ตอนนี้ใช้คำศัพท์นี้กับ$A$และรับสิ่งนั้น $A$ไม่เคยมีใครที่ไม่ใช่ศูนย์ค่าลักษณะเฉพาะ

ให้เราตรวจสอบเมทริกซ์ $I - \lambda A$ จำได้ว่าที่นี่ $\lambda \not= 0$.

เมทริกซ์นี้จะกลับด้านได้ถ้ามีเฉพาะในกรณีที่มีดีเทอร์มิแนนต์ที่ไม่ใช่ศูนย์
ให้เราคำนวณดีเทอร์มิแนนต์:

$det(I - \lambda A) = \lambda det(\lambda ^{-1}I - A)$

ถือว่าสิ่งนี้เท่ากับ $0$ และรับ:
$\lambda det(\lambda ^{-1}I - A) = 0$
$det(\lambda ^{-1}I - A) = 0$

และอื่น ๆ - $\lambda ^{-1}$ เป็นค่าเฉพาะของ $A$ซึ่งไม่ใช่ศูนย์ การโต้แย้ง

ดังนั้น, $\lambda det(\lambda ^{-1}I - A) \not= 0$ และอื่น ๆ -
$det(I - \lambda A) \not = 0$ และเมทริกซ์กลับด้านได้