AMC 12B Problem 16 2020 โซลูชัน AOPS
โกศมีลูกบอลสีแดงหนึ่งลูกและลูกบอลสีน้ำเงินหนึ่งลูก กล่องลูกบอลสีแดงและสีน้ำเงินพิเศษวางอยู่ใกล้ ๆ จอร์จดำเนินการดังต่อไปนี้สี่ครั้ง: เขาดึงลูกบอลจากโกศแบบสุ่มจากนั้นหยิบลูกบอลที่มีสีเดียวกันจากกล่องและส่งลูกบอลที่ตรงกันทั้งสองลูกนั้นกลับไปที่โกศ หลังจากการทำซ้ำสี่ครั้งโกศมีลูกบอลหกลูก ความน่าจะเป็นที่โกศมีลูกบอลสามลูกในแต่ละสีคืออะไร?
ฉันแก้ปัญหานี้ด้วยกำลังเดรัจฉาน ฉันต้องการลองและทำความเข้าใจวิธีแก้ปัญหาในเว็บไซต์
เนื่องจากเราเริ่มต้นด้วยสีแดง (R) และสีน้ำเงิน (B) เราจึงต้องการการเรียงสับเปลี่ยนของ RRBB ในการจับฉลาก 4 ครั้งถัดไป ฉันมีปัญหาในการทำความเข้าใจว่าเหตุใดการเรียงสับเปลี่ยนทั้ง 6 จึงมีความน่าจะเป็นเท่ากัน$1/30$ (เราสามารถหา 3 คู่ที่เท่ากันได้เนื่องจากสมมาตร) ฉันไม่ค่อยได้รับคำอธิบายในโซลูชัน AOPS (โซลูชันที่ 2)
ที่มา: https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2020_AMC_10B_Problems/Problem_18
คำตอบ
สาระสำคัญของการแก้ปัญหา 2 คือ:
ลองนึกภาพคุณเดรัจฉานบังคับสิ่งนี้แทน มีคำสั่งที่แตกต่างกัน 6 คำสั่งที่ Rs และ Bs สามารถเข้ามาได้ดังนั้นเราจึงใช้คำสั่งหนึ่งพูด RRBB และคำนวณความน่าจะเป็นของคำสั่งนั้น$$ \frac12\cdot\frac23\cdot\frac14\cdot\frac25 $$ ตอนนี้รับคำสั่งอื่นพูด BRBR: $$ \frac12\cdot\frac13\cdot\frac24\cdot\frac25 $$คุณเห็นความคล้ายคลึงกันหรือไม่? เรามักจะได้รับ$2\cdot3\cdot4\cdot5$ในตัวส่วนเนื่องจากจำนวนลูกบอลในโกศเปลี่ยนไปในลักษณะเดียวกันโดยไม่คำนึงถึงสิ่งที่เราวาด และเราจะได้ลำดับสองเสมอ$1$(จากลูกบอลสีแดงลูกแรกและลูกบอลสีน้ำเงินลูกแรก) และสอง $2$(จากลูกบอลสีแดงลูกที่สองและลูกบอลสีน้ำเงินลูกที่สอง) ในตัวเศษ
โซลูชันที่ 2 จาก AoPS เพียงแค่ชี้ให้เห็นรูปแบบที่แน่นอนนี้ แต่ไม่ต้องผ่านการเคลื่อนไหวของวิธี brute force ก่อน