Atiyah-Macdonald, Ex.2.3

Question

แบบฝึกหัดนี้ระบุว่าถ้า $A$ เป็นแหวนท้องถิ่นที่มีอุดมคติสูงสุด $\mathfrak{m}$ และสนามตกค้าง $k=A/\mathfrak{m}$ และ $M,N$ ถูกสร้างขึ้นอย่างประณีต $A$- โมดูลแล้ว $M\otimes_{A}N=0\implies M=0$ หรือ $N=0$.

นี่คือสิ่งที่ฉันทำงานมาจนถึงตอนนี้:

สำหรับ $A$-โมดูล $L$ พวกเราเขียน $L_{k}=k\otimes_{A}L$ สำหรับ $k$- โมดูลที่ได้รับจาก $L$โดยการขยายสเกลาร์ สมมติว่า$M\otimes_{A} N=0$. จากนั้นก็ถือสิ่งนั้น$(M\otimes_{A}N)_{k}=0$. ถ้าฉันสามารถพิสูจน์ได้ว่า\ begin {สมการ} M_ {k} \ otimes_ {k} N_ {k} = 0 \ end {สมการ}งั้นฉันคงพิสูจน์ได้$M=0$ หรือ $N=0$. อันที่จริงสำหรับ$k$- เวกเตอร์ช่องว่างที่เรามี\ start {สมการ} \ dim (M_ {k} \ otimes_ {k} N_ {k}) = \ dim (M_ {k}) \ cdot \ dim (N_ {k}) \ end { สมการ}และเราก็มีเช่นกัน$M_{k}\cong M/\mathfrak{m}M$. ดังนั้นเลมม่าของ Nakayama จึงมีสิ่งนั้น$M_{k}=0\iff M=\mathfrak{m} M\iff M=0$ และ $N_{k}=0\iff N=\mathfrak{m} N\iff N=0$, เช่น $\mathfrak{m}$ คือจาค็อบสันหัวรุนแรงของ $A$.

ปัญหา:ฉันไม่พบความสัมพันธ์ระหว่าง$M\otimes_{A}N$ และ $M_{k}\otimes_{k}N_{k}$(แม้ว่าฉันจะเห็นได้ชัด) ฉันได้ลองทำสิ่งต่อไปนี้: \ begin {สมการ} M_ {k} \ otimes_ {k} N_ {k} = (k \ otimes_ {A} M) \ otimes_ {k} (k \ otimes_ {A} N) = k \ otimes_ {A} (M \ otimes_ {k} k) \ otimes_ {A} N = k \ otimes_ {A} (M \ otimes_ {A} N) = (M \ otimes_ {A} N) _ {k } \ end {สมการ}แต่ฉันมองไม่เห็น$M$ คือ $k$- โมดูลและ isomorphism $M\otimes_{k}k\cong M$ ไม่ถูกต้อง

Answer 1

จริงๆ $M_k=M\otimes_A A/\mathfrak{m}=M\otimes_A k$. ดังนั้น:$$ M_k\otimes_k N_k=(M\otimes_A k)\otimes_k(k\otimes_A N)$$ $$\cong M\otimes_A (k\otimes_k k)\otimes_A N\cong (M\otimes_A N)\otimes_A k=(M\otimes_A N)_k.$$ฉันคิดว่านี่คือสิ่งที่คุณต้องใช้เพื่อยุติการโต้แย้งของคุณ สังเกตว่าที่นี่เราเป็นเพียงการดึงเท่านั้น$k$ด้วยตัวของมันเองและนี่ก็สมเหตุสมผล ควรเป็นแบบฝึกหัดที่ดีในการตรวจสอบว่า isomorphisms ข้างต้นเป็น isomorphisms จริงหรือไม่