Black Volatility โดยใช้โมเดล SABR

Aug 25 2020

ตาม Wikipedia SABRโมเดลมีลักษณะดังนี้ -

$dF_t = \sigma_t \left(F_t\right)^{\beta} dW_t$

$d \sigma_t = \alpha \sigma_t d Z_t$

ฉันมีคำถาม 3 ข้อ -

สมมติว่าเรารู้พารามิเตอร์ทั้งหมด แล้วมันหมายความว่าอย่างไรเมื่อเราได้รับแจ้งให้ประมาณค่าความผันผวนของสีดำโดยใช้SABR? โดยทั่วไปเมื่อเราประมาณBlack volatilityโดยใช้สูตร BS เราจะใช้ราคา Option ด้วยระยะเวลาที่ครบกำหนดแล้วจึงประมาณค่า$\sigma$ซึ่งคงที่ ในกรณีนี้มันสุ่ม แล้วความBlack volatilityหมายในSABRบริบทคืออะไร? มันเป็นค่าเฉลี่ยความผันผวนของทั้งหมดหรือไม่$\sigma_t$ ตลอดชีวิตของตัวเลือก?
ตอนนี้สมมติว่าเราไม่ทราบพารามิเตอร์และเราต้องการประมาณค่าเหล่านี้ AFAIK โดยทั่วไปเราจะพิจารณาราคาตลาดของตัวเลือกสำหรับการนัดหยุดงานและการครบกำหนดต่างๆ ดังนั้นเรามีโซลูชันรูปแบบปิดของราคาตัวเลือกโดยใช้SABRแบบจำลองหรือไม่?
ตามวิกิพีเดียไฟล์ $F_t$เป็นสัญญาซื้อขายล่วงหน้า เราสามารถใช้SABRแบบจำลองสำหรับการซื้อขายล่วงหน้าได้หรือไม่$F_t$คืออนาคต? ดังนั้นในทางกลับกันเราสามารถประมาณความผันผวนของ Spot ได้หรือไม่เนื่องจากความผันผวนของ Spot ควรจะเหมือนกับ Futures เนื่องจากเป็นอนุพันธ์เชิงเส้น?

คำตอบ

4 LePiddu Aug 25 2020 at 19:59

แบบจำลอง SABR แสดงให้เห็นถึงวิวัฒนาการสุ่มของราคาของสินทรัพย์บางประเภทภายใต้มาตรการที่มันเป็นมาร์ติงเกลที่ไม่มีค่าใช้จ่ายใด ๆ สำหรับสัญญาซื้อขายล่วงหน้าเรียกว่า "Forward measure" ซึ่งเกิดจากการใช้ราคาของพันธบัตรศูนย์คูปองที่ครบกำหนด ณ วันที่ชำระเงินตามสัญญาล่วงหน้าเป็นตัวเลข

ขณะนี้มีความแตกต่างระหว่างพารามิเตอร์ "การประมาณ" และ "การปรับเทียบ" พารามิเตอร์แรกต้องใช้วิธีสถิติ / เศรษฐมิติและชุดค่าที่สังเกตได้ของตัวแปรสุ่มหรือกระบวนการสุ่ม พารามิเตอร์เป็นค่าประมาณและช่วงความเชื่อมั่นถูกสร้างขึ้นเพื่อปฏิเสธสมมติฐานว่างที่กำหนดขึ้นจากสิ่งที่คุณกำลังสร้างแบบจำลอง

เมื่อคุณต้องการปรับเทียบพารามิเตอร์ของคุณคุณเพียงแค่ลดความแตกต่างระหว่างฟังก์ชันที่กำหนดไว้ล่วงหน้าของพารามิเตอร์เหล่านั้นกับปริมาณที่สังเกตได้ซึ่งฟังก์ชันดังกล่าวควรกู้คืน ทั้งสองแนวทางแตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง: การปรับเทียบแบบจำลองนั้นมีมุมฉากกับกระบวนการสร้างข้อมูลที่แท้จริงโดยสิ้นเชิงและคุณไม่มีวิธีใดในการประเมินคุณภาพของสมมติฐานของคุณ

เป็นที่กล่าวว่าไม่มีสิ่งดังกล่าวเป็นตัวเลือกสูตร SABR อย่างน้อยในความรู้สึกเดียวกันของสีดำและสโคลส์สูตรมีการประมาณของ Black-76 สูตรผันผวนโดยนัยเป็นหน้าที่ของพารามิเตอร์ เพื่อให้แม่นยำมากมีการประมาณหลายอย่าง (ดูข้อมูลอ้างอิง) สำหรับทั้งความผันผวนโดยนัยของสูตร Black-76 และความผันผวนโดยนัยของ Bachelier (หรือ Normal) เพื่อให้ง่ายขึ้นฉันจะเน้นไปที่ความผันผวนของ Black-76

ปล่อย $F_0$, $K$ และ $T$เป็นราคาล่วงหน้าของวันนี้ตามลำดับเวลาออปชั่นที่จะครบกำหนดและราคานัดหยุดงานของตัวเลือก จากนั้นความผันผวนโดยนัยคือปริมาณ

$$\sigma^{Black}_{Market}(K,F_0,T) : Black(K,F_0,T,\sigma^{Black}_{Market}(K,F_0,T)) = MarketPrice(K,T)$$

ที่ไหน $Black$คือราคาออปชั่น Black-76 (ละเว้นการโทร / วางเนื่องจากความผันผวนทางทฤษฎีเหมือนกัน) ตอนนี้ตามการอ้างอิงคุณมีฟังก์ชั่นบางอย่าง

$$\sigma^{Black}(K,F_0,T) = \sigma^{Black}_{SABR}(\alpha_0(T), \beta(T), \nu(T), \rho(T), K; F_0, T) + error$$

ดังนั้น $$Black(K,F_0,T,\sigma^{Black}_{Market}(K,F_0,T)) \simeq Black(K,F_0,T,\sigma^{Black}_{SABR}(K,F_0,T)) $$

ดังนั้นในการปรับเทียบพารามิเตอร์ (ฉันจะข้ามความซับซ้อนของการสอบเทียบจริง) คุณต้อง:

ค้นหาชุดราคาของตัวเลือกสไตล์ยุโรปสำหรับการประท้วงที่แตกต่างกันในสัญญาซื้อขายล่วงหน้าที่มีวุฒิภาวะ (โปรดสังเกตว่าพารามิเตอร์นั้นถูกต้องสำหรับอายุของตัวเลือกนั้น ๆ เท่านั้น)
คำนวณความผันผวนโดยนัยของราคาดังกล่าว
ค้นหาพารามิเตอร์ $\alpha_0(T), \beta(T), \nu(T), \rho(T)$ ที่ช่วยลดความแตกต่างระหว่างการประมาณความผันผวนของ SABR และความผันผวนโดยนัยที่คุณดึงมาจากราคาตลาด
ตอนนี้คุณได้ปรับเทียบโมเดล SABR แล้ว

สังเกตว่าโมเดล SABR ไม่ใช่ "แบบจำลอง" จริง ๆ แล้วมันเป็นพารามิเตอร์ที่ใช้งานได้จริงของพื้นผิวความผันผวนโดยนัยคุณจะยังคงกำหนดราคาตัวเลือกของคุณโดยใช้สูตร Black-76

ยูทิลิตี้ที่แท้จริงของ SABR คือการคำนวณความไวของตัวเลือกที่แก้ไขด้วยรอยยิ้ม (ที่ชาวกรีกเรียกว่า) ซึ่งคุณจะเห็นได้ว่ามันช่วยเพิ่มความแปรปรวนของการป้องกันความเสี่ยงของคุณ สังเกตว่านั่นคือชื่อของกระดาษต้นฉบับโดย Hagan

ตามคำถามสุดท้ายของคุณ: ความผันผวนของอนาคต (หรือส่งต่ออะไรก็ตามที่สำคัญ) ไม่เหมือนกับจุดนั้น เป็นกรณีที่คุณยอมรับอัตราดอกเบี้ยที่กำหนดไว้อย่างสมบูรณ์เท่านั้น แต่นี่เป็นเรื่องไร้สาระ (โดยเฉพาะในกรณีของตัวเลือกเกี่ยวกับอัตราดอกเบี้ย) ในกรณีอื่น ๆ ความผันผวนของราคาล่วงหน้า (หรืออัตรา) จะได้รับจากการรวมกันของผลต่างของราคาอ้างอิงและอัตราคิดลด (เช่นเดียวกับความแปรปรวนร่วมใด ๆ )

โดยวิธีนี้เป็นสาเหตุหนึ่งที่ทำให้ตัวเลือกการซื้อขายในสัญญาซื้อขายล่วงหน้าเป็นเรื่องธรรมดา: ความผันผวนโดยนัย "มี" ชุดค่าผสมดังกล่าวแล้วดังนั้นคุณจึงไม่จำเป็นต้องประมาณ / ปรับเทียบความผันผวนและความสัมพันธ์แยกกัน

อ้างอิง

Rebonato, Riccardo ความผันผวนและความสัมพันธ์: เฮดเจอร์ที่สมบูรณ์แบบและสุนัขจิ้งจอก จอห์นไวลีย์แอนด์ซันส์ 2548

Hagan, Patrick S. , และคณะ "การจัดการความเสี่ยงรอยยิ้ม" ที่สุดของ Wilmott 1 (2002): 249-296