จำกัด การใช้ผลรวม Riemann [ซ้ำ]

Question

ฉันมีปัญหาในการแก้ไขขีด จำกัด ต่อไปนี้:

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt[n] e + \sqrt[n] {e^2} + ... + \sqrt[n] {e^n}}{n}$$

คำถามนี้อยู่ในส่วน "Riemann Sum" ดังนั้นฉันคิดว่าเราควรจะเปลี่ยนสิ่งนี้ให้เป็นอินทิกรัลดังนั้น:

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt[n] e + \sqrt[n] {e^2} + ... + \sqrt[n] {e^n}}{n} = \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{n} \sqrt [n] {e^k} = \int_a^b f(x) dx$$

ฉันคิดว่า $n$ คือจำนวนพาร์ติชันและ $1/n$ คือความยาวของแต่ละอันซึ่งหมายความว่า $b - a = 1$ หรือ $b = a+1$ซึ่งหมายความว่าเราต้องหาค่าสำหรับ $a$ และ $b$ จะเป็นเช่นนั้น $+1$. แต่ตอนนี้ฉันไม่สามารถหาค่าของ$a$ หรือ $f(x)$. ฉันจะแก้ปัญหานี้ได้อย่างไร?

Answer 1

โปรดทราบว่า $\sqrt[n]{e^k}=e^{k/n}$ และด้วยเหตุนี้$$\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^ne^{k/n}=\int_0^1e^x\,\mathrm dx=e-1.$$