จำนวนเฉพาะและ gcd [ซ้ำ]

Question

ฉันแค่อยากจะแน่ใจเกี่ยวกับปัญหา

ปล่อย$m, p= \text{prime}∈ ℕ-\{0\}$

ถ้า $$m≤p^k,$$

ต่อไปนี้มีอยู่จริงหรือไม่? $$\gcd⁡(m,p)≠1⟺ \gcd⁡(m,p^k)≠1$$ และไม่ จำกัด $$m≤p^k$$ มีความสำคัญต่อการดำรงอยู่?

ขอบคุณล่วงหน้า!!!

Answer 1

$m \le p^k$ไม่จำเป็นต้องใช้. ถ้า gcd$(m,p) \neq1$ แล้ว $m$ และ $p$ ต้องแบ่งปันปัจจัยร่วมกันเพราะปัจจัยเดียวของ $p$ คือ $p$ (และอีกอย่างหนึ่ง แต่เราไม่จำเป็นต้องกังวลเกี่ยวกับเรื่องนี้) อย่างน้อย $p$ ต้องเป็นปัจจัยของ $m$. ถ้าตอนนี้เราดู gcd$(m,p^k)$ $p^k$ จะมีปัจจัยเป็น $p$ และเรารู้อยู่แล้ว $m$ มีปัจจัยของ $p$ ดังนั้น gcd$(m,p^k) \neq1$ เนื่องจากอย่างน้อยต้องเท่ากับ $p$. เราไม่จำเป็นต้องใช้เลย$m \le p^k$.