ชุดเปิดที่มีชุดปิด

Question

ปล่อย $A,B$ เป็น 2 ชุดที่ปิดไม่ปะติดปะต่อกันในช่วงเมตริก $(X,d)$ ฉันรู้แล้ว $A=\cap_{n\in \Bbb N}C_n$ ที่ไหน $C_n=\{x\in X:d(x,A)<1/n\}$ และ $B=\cap_{n\in \Bbb N}D_n$ ที่ไหน $D_n=\{x\in X:d(x,B)<1/n\}$.

ดูเหมือนถูกแล้ว $\exists n \in \Bbb N$ ดังนั้น $C_n\cap D_n=\emptyset$.

ความคิดของฉันคือสมมติว่าไม่และสร้างลำดับ $x_n\in C_n\cap D_n\forall n\in \Bbb N$. แต่ฉันติดอยู่ที่การค้นหาความขัดแย้ง

Answer 1

ไม่นี่ไม่ถูกต้อง ยกตัวอย่างเช่น$X = \mathbb R^2$ ติดตั้งเมตริกแบบยุคลิด $A=\{(x,0) \mid x \in \mathbb R\}$ และ $B = \{(x, 1/x) \mid x \neq 0\}$.

นี่เป็นความจริงถ้าหนึ่งในส่วนย่อยควรมีขนาดกะทัดรัด