ช่องว่าง isomorphic isometric

Question

$X$ isomorphic มีมิติเท่ากันด้วย $Y$จากนั้นเราแสดงโดย $X \simeq Y$ และถ้า $X \simeq Z$ สำหรับ $Z$ พื้นที่ย่อยของ $Y$จากนั้นเราแสดงโดย $X \preceq Y$ (สัญกรณ์ประดิษฐ์).

พิสูจน์ว่า $X \simeq Y$ถ้าและเฉพาะในกรณีที่ $X \preceq Y$ และ $Y \preceq X$.

มันดูเป็นธรรมชาติมาก แต่ฉันไม่รู้ว่าทำไมถึงเขียนไม่ได้

Answer 1

เพียงเพื่อทำให้สิ่งต่างๆเป็นทางการ (และเพื่อย้ายการสนทนาที่นี่ในกรณีที่ฉันผิด):

ฉันไม่คิดว่าสิ่งนี้ถือ ฉันเชื่อว่าคุณต้องการhttps://ncatlab.org/nlab/show/Cantor-Schroeder-Bernstein+theorem เพื่อให้ได้ผล แต่นี่ไม่เป็นความจริงสำหรับช่องว่าง Banach