Combinatorics - การเลือกแท่ง
ไม้เซเว่นที่มีความยาว 2, 3, 5, 7, 11, 13 และ 17 นิ้ววางอยู่ในกล่อง ไม้สามแท่งจะถูกสุ่มเลือก อะไรคือความน่าจะเป็นที่สามเหลี่ยมจะเกิดขึ้นได้จากการรวมจุดสิ้นสุดของแท่งไม้? แสดงคำตอบของคุณเป็นเศษส่วนทั่วไป
งานของฉัน:ฉันนับโดยใช้อสมการสามเหลี่ยม$9$ วิธีเลือกแท่ง: $(3,5,7) ; (3, 11, 13) ; (5,7,11) ; (5,11,13); (5,13,17); (7,11,13); (7,11,17); (7,13,17) ;(11,13,17) $.
คำถามของฉัน:ฉันไม่แน่ใจว่าจะนับจำนวนวิธีทั้งหมดในการเลือกไม้ได้อย่างไร กำลังเลือก$(3,5,7)$ เช่นเดียวกับการเลือก $(5,3,7)$ตัวอย่างเช่นหรือสิ่งเหล่านี้นับเป็นวิธีการวาดที่แตกต่างกันหรือไม่?
คำตอบ
สำหรับแท่งแรกคุณมี $7$ตัวเลือก. สำหรับครั้งที่สองและสามคุณมี$6$ และ $5$ตัวเลือกตามลำดับ ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถเลือกได้$3$ แท่งจาก $7$ ใน $7*6*5=210$วิธี เท่านั้น$9*(3*2*1)=54$ สิ่งเหล่านี้นำไปสู่ผลลัพธ์ที่ต้องการดังนั้นความน่าจะเป็นก็คือ $\frac{54}{210}=0.257...$
ดังที่คนอื่น ๆ ชี้ให้เห็นคุณสามารถพิจารณาลำดับหรือไม่ก็ได้ตราบใดที่คุณทำตามนั้นในการคำนวณของคุณ หากคุณเห็นคำสั่งซื้อที่แตกต่างกันของชุดไม้แท่งเดียวกันว่าเทียบเท่าจำนวนวิธีในการเลือก$3$ แท่งจาก $7$ เป็นจริง $\binom{7}{3}=35$ หรือ $7$ เลือก $3$. จากนั้น$\frac{9}{35}=\frac{54}{210}=0.257...$