จริงหรือไม่ $V^{\,T}SV=\Lambda$เหรอ?
พร้อมท์
เมทริกซ์สมมาตร $S=S^T$ มี orthonormal eigenvectors $\vec{v}_1$ ถึง $\vec{v}_n$. แล้วเวกเตอร์ใด ๆ$\vec{x}$ สามารถเขียนเป็นการรวมกันได้ $\vec{x} = c_1 \vec{v}_1+ \cdots + c_n \vec{x}_n$. อธิบายสูตรนี้:$\vec{x}^{\,T}S\vec{x} = \lambda_1 c_1^2+ \cdots + \lambda_nc_n^2$
คำอธิบายของฉัน:
$\vec{x}$ สามารถเขียนเป็น $$ \begin{bmatrix} \vec{v}_1 & \cdots & \vec{v}_n \end{bmatrix}_{nxn} \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix}_{\,nx1} = V\vec{c} $$ พิจารณา, $$ \vec{x}^{\,T}S\vec{x} = \vec{c}^{\,T}(V^{\,T}SV)\vec{c} = \vec{c}^{\,T}\Lambda\vec{c} = \lambda_1 c_1^2 + \cdots + \lambda c_n^2 $$ เรามาดูกันว่า orthonormal eigenvectors ของ $S$คูณเพื่อสร้างเมทริกซ์ eigenvlaue ในแนวทแยง จากนั้นเราจะจบลงด้วยผลคูณภายในของการถ่วงน้ำหนักเวกเตอร์$c^2$ คำศัพท์ที่ปรับขนาดตามค่าลักษณะเฉพาะที่เกี่ยวข้อง
ฉันรู้สึกดีกับคำอธิบายของฉัน แค่ส่วนที่ฉันไม่เข้าใจอย่างถ่องแท้ว่าทำไม$V^{\,T}SV=\Lambda$... สำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่ามันควรจะเท่าเทียมกันมากกว่าตามแนวของ $\Lambda^T \Lambda$ เนื่องจาก eigenvector แต่ละตัวควรได้รับการปรับขนาดเมื่อคูณขวาเพราะ $A\vec{v} = \lambda \vec{v}$.
จริงหรือไม่ $V^{\,T}SV=\Lambda$เหรอ? ถ้าเป็นเช่นนั้นความช่วยเหลือเล็กน้อยที่เห็นว่าทำไมถึงได้รับการชื่นชม
วิธีที่ฉันคิดเกี่ยวกับมัน
$$ V^TSV = V^T(SV) = V^T \begin{bmatrix} \lambda_1 \vec{v_1} & ... & \lambda_n \vec{v_n} \end{bmatrix} $$ วิธีคิดเกี่ยวกับ $SV$ คือแต่ละคอลัมน์ของ $V$ เป็น eigenvector ที่คูณคอลัมน์ของ $S$. เรารู้แล้วว่าชุดค่าผสมนี้จะเท่ากับอะไรโดยนิยามของ eigenvector$A\vec{v} = \lambda\vec{v}$. สุดท้ายเมื่อคูณด้วย$V^T$ จำไว้ $\vec{v}_i^{\,T}\vec{v_j}=1$ คือ $1$ เมื่อไหร่ $i=j$ และ $0$ เมื่อไหร่ $i\neq j$ ตามความหมายของการเป็นเวกเตอร์ orthon ปกติ
เห็นได้ชัดว่าเราจบลงด้วย $\Lambda$ ดังผลลัพท์.
คำตอบ
ใช่มันเป็นเรื่องจริง $V^TSV = \Lambda$. มีหลายวิธีที่เราสามารถเข้าใจได้ว่าทำไมสิ่งนี้จึงเกิดขึ้น วิธีหนึ่งคือการเปรียบเทียบว่าเมทริกซ์แต่ละตัว "ทำ" อะไรกับคอลัมน์ - เวกเตอร์
ปล่อย $\vec c$ แสดงถึงเวกเตอร์คอลัมน์ $\vec c = (c_1,\dots,c_n)$. ตรวจสอบว่า$\Lambda \vec c = (\lambda_1 c_1,\dots,\lambda_n c_n)$.
ตอนนี้เราพิจารณาผลิตภัณฑ์ $V^TSV \vec c = V^T(S(V\vec c))$. เราพบว่า$$ V \vec c = \pmatrix{\vec v_1 & \cdots & \vec v_n} \pmatrix{c_1 \\ \vdots \\ c_n} = c_1 \vec v_1 + \cdots + c_n \vec v_n. $$ เพื่อนำสิ่งต่างๆไปอีกทางหนึ่งบทบาทของไฟล์ $V$ คือการตีความรายการของ $\vec c$ เป็นค่าสัมประสิทธิ์ของเวกเตอร์ $\vec v_1,\dots,\vec v_n$. จากนั้นเราจะเห็นว่าเพราะแต่ละ$v_i$ เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของ $S$, เรามี $$ S(V\vec c) = S(c_1 \vec v_1 + \cdots + c_n \vec v_n) = c_1 \lambda_1 \vec v_1 + \cdots + c_n \lambda_n \vec v_n. $$ สุดท้ายโปรดทราบว่า (เพราะ $V$ เป็นมุมฉาก) $V^T$ เป็นค่าผกผันของ $V$. ดังนั้นเช่นเดียวกับ$V$ ตีความ "เวกเตอร์อินพุต" เป็นรายการของสัมประสิทธิ์สำหรับ $v_i$, $V^T$ ใช้เวกเตอร์และให้รายชื่อสัมประสิทธิ์สำหรับ $v_i$เป็นผลลัพธ์ นั่นคือ,$$ V^T(S(V\vec c)) = (c_1 \lambda_1) \vec v_1 + \cdots + (c_n \lambda_n) \vec v_n = (c_1 \lambda_1,\dots,c_n \lambda_n). $$ แน่นอน $V^TSV$ และ $\Lambda$ อธิบายการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันดังนั้นจึงเป็นเมทริกซ์เดียวกัน
เราสามารถคิด $V^TSV$ เป็นเวอร์ชันที่เปลี่ยนแปลงของ $S$ โดยที่แทนที่จะคิดรายการของเวกเตอร์ (ทั้งอินพุตและเอาต์พุต) เป็นพิกัดตามตัวอักษรของเวกเตอร์เราตีความว่ามันเป็นสัมประสิทธิ์ของเวกเตอร์ของเรา $v_i$. ในแง่ของคำศัพท์ที่คุณอาจเคยได้ยินมาก่อนเราพูดอย่างนั้น$\Lambda$ คือเมทริกซ์ของ $S$ "หลังการเปลี่ยนแปลงพื้นฐาน".