Dynkin pi-system lemma

Question

ฉันมีคำถามเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่ฉันกำลังดิ้นรนมากที่จะจับต้องได้และฉันรู้สึกว่าฉันขาดอะไรง่ายๆไปดังนั้นหวังว่าฉันจะสามารถเคลียร์ปัญหานี้ได้ที่นี่

คำนามระบุว่า: ถ้า G เป็น $\pi$- ระบบแล้ว $d$-system (ระบบ dynkin) ที่สร้างโดย G คือไฟล์ $\sigma$- ฟิลด์ที่สร้างโดย G.

ในหลักฐานที่ฉันมีเราสร้างชุดต่อไปนี้: $D_{1}$ = {B $\in$ $d(G)$ : $\forall$ ค $\in$ G, B $\cap$ ค $\in$ $d(G)$ }

และเราแสดงให้เห็น $D_{1}$ เป็น infact a $d$-ระบบ. ฉันมีความสุขกับการพิสูจน์ที่เหลือ แต่พยายามดิ้นรนเพื่อดูว่าทำไมทั้งชุด$\Omega \in D_{1}$เหรอ?

ตามความหมายของระบบ dynkin ฉันรู้ว่าเราต้องมี $\Omega \in d(G)$ ดังนั้นในชุด $D_{1}$ ฉันสามารถใช้องค์ประกอบ $B = \Omega \in d(G)$ แต่ฉันไม่สามารถสรุปได้ว่าทำไมจึงต้องมีชุด C $\Omega$ (เพื่อให้จุดตัดของ $\Omega \cap \Omega = \Omega \in d(G)$) ซึ่งท้ายที่สุดจะแสดงส่วนแรกว่า $D_{1}$ เป็น d-system

ความช่วยเหลือใด ๆ ข้างต้นจะได้รับการชื่นชมมาก!

Answer 1

คำจำกัดความนี้ทำให้เกิดความสับสน
สังเกตว่าตามความหมาย$G\subseteq d(G)$ เพราะ $d(G)$เป็นระบบ Dynkin ที่เล็กที่สุดที่มี $G.$ สังเกตว่าถ้า $x\in G,$ แล้ว $x\in d(G).$ ดังนั้น, $\Omega \in d(G)$ ตามความหมายและถ้า $C\in G$ แล้ว $C\cap \Omega =C\in d(G)$ ดังนั้น $\Omega \in D_1.$