หนีเครื่องบิน
เช้าวันอาทิตย์วันหนึ่งคุณตื่นขึ้นมาพบว่าตัวเองอยู่คนเดียวบนเครื่องบินที่ไม่มีที่สิ้นสุด คุณจำไม่ได้มากเกี่ยวกับคืนก่อนนอกจากนั้นคุณอาจโกรธพ่อมด ถัดจากคุณคุณจะพบจานสีที่มีสีนับไม่ถ้วนและมีโน้ตสั่งคุณดังนี้:
คุณต้องวาดทุกจุดบนระนาบนี้เพื่อที่ฉันจะไม่สามารถหาสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดที่มีสีและพื้นที่ที่มีเหตุผลเดียวกันได้
หากคุณสามารถจัดการงานนี้ได้ตัวช่วยจะปล่อยให้คุณเป็นอิสระ - ล้มเหลวและคุณติดอยู่ตลอดไป คุณไม่สงสัยในความสามารถของพ่อมดดังนั้นจึงไม่มีเทคนิคราคาถูกที่นี่ เมื่อพิจารณาถึงปัญหาคุณก็เริ่มทำงานได้ - และในเวลาต่อมาไม่ จำกัด จำนวนนับไม่ถ้วนพ่อมดก็ยืนอยู่ข้างๆคุณพร้อมชื่นชมผลงานฝีมือของคุณ
ตัวช่วยสร้างให้คุณเป็นอิสระหรือไม่?
แก้ไข: หากต้องการกำจัดคำตอบด้านความคิดด้านข้างตามกรอบของคำถามนี่คือคำสั่งทางคณิตศาสตร์ที่เป็นทางการของปริศนา:
มีสีของ $\mathbb{R}^2$ ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะหาสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดที่มีสีเดียวกันและพื้นที่ที่มีเหตุผล?
คำตอบ
supertask ที่น่าสนใจมาก
ในระนาบ 2 มิติจุดที่ไม่ใช่เชิงเส้นสามจุดจะทำให้เป็นรูปสามเหลี่ยมดังนั้นให้ใช้เพียง 2 จุดของแต่ละสี เนื่องจากคุณมีสีที่ไม่มีที่สิ้นสุดคุณจะไม่มีสีหมด อย่างไรก็ตามสิ่งนี้ไม่ได้ช่วยเราให้พ้นจากความตายเนื่องจากงานนี้ต้องใช้เวลานับไม่ถ้วนทำให้เราติดอยู่ในเครื่องบิน ดังนั้นเราต้องเข้าใกล้สิ่งนี้เหมือนงานพิเศษ วาดจุดแรกใน 1 นาทีวาดจุดที่สองครึ่งเวลาทาสีที่สามในครึ่งหนึ่งของจุดที่สอง ฯลฯ ในเวลาเพียงสองนาทีและไม่ว่าวิซาร์ดจะต้องตรวจสอบนานแค่ไหนคุณก็จะเป็นอิสระจาก เครื่องบิน!
แก้ไข:
วิธีแก้ปัญหาข้างต้นพบปัญหาที่คุณไม่มีสีเนื่องจากมีจำนวนจุดนับไม่ถ้วนบน $\mathbb{R}^2$และมีสีจำนวนนับไม่ถ้วน ฉันสามารถเข้าใกล้ได้มากขึ้นโดยการเพิ่มสีจำนวนของฉัน แทนที่จะคิดถึงสีในขณะที่สีแยกส่วนที่ตัวช่วยสร้างมอบให้ฉันตอนนี้ฉันจะพิจารณาความยาวคลื่นของแสงที่เม็ดสีสะท้อน (ไม่สนใจว่าการผสมสีทำงานอย่างไรที่นี่) ตอนนี้ในแต่ละขั้นตอนของ supertask ให้ผสมสีเพื่อให้ได้สีใหม่ (เช่นในขั้นตอนที่ 1 คุณใช้สีกับ$700nm$ในขั้นตอนที่ 2 คุณใช้สีกับ $700.\bar01nm$ฯลฯ ). ตอนนี้คุณมีสีสีจำนวนนับไม่ถ้วน อย่างไรก็ตามฉันรู้สึกราวกับว่าเครื่องบินเต็มไปด้วยจุด 2 มิติที่ไม่มีที่สิ้นสุด$\mathbb{R}^2$ในขณะที่ฉันมีเพียงสีที่มี $\mathbb{R}>0$ดังนั้นฉันจึงยังมีสีไม่เพียงพอ
แน่นอนว่านี่เป็นเรื่องง่าย
คุณมีสีไม่สิ้นสุดดังนั้นคุณจึงใช้แต่ละสีเพียงครั้งเดียว คุณไม่ได้ระบุว่า "คะแนน" เป็นคะแนนจริงหรือไม่ หากเป็นจุดจริงบนระนาบก็จะไม่มีมิติดังนั้นคุณไม่สามารถวาดภาพได้ สามารถใช้สีไม่ได้แม้แต่ 1 โมเลกุล
หรือ
หากคุณสามารถจัดการงานนี้ได้ตัวช่วยจะปล่อยให้คุณเป็นอิสระ - ล้มเหลวและคุณติดอยู่ตลอดไป
เนื่องจากงานจะดำเนินไปตลอดกาลคุณจึงถูกขังอยู่ตลอดเวลาในการทำงานไม่มีตัวช่วยใดที่จะไม่ทำให้คุณว่าง
หรือ
คุณวาดเส้นตรงสีเดียวขนานยาวไม่ จำกัด จะไม่มีสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดสามจุดที่มีสีเดียวกัน