$I(T, \lambda) \leq 2^{\lambda}$ สำหรับทุกทฤษฎี $T$ทุกพระคาร์ดินัล $\lambda$.

Question

ปล่อย $T$ เป็นทฤษฎีลำดับแรกที่สมบูรณ์

สมมติ $\lambda \geq |L(T)| + \aleph_0$เห็นได้ชัดว่า $I(T, \lambda) \leq 2^{\lambda}$เหรอ? คำถามเกิดขึ้นจากการดูการคาดเดาของ Vaught ในวิกิพีเดีย ฉันไม่มีความรู้ทฤษฎีแบบจำลองมากนักดังนั้นมันอาจจะชัดเจนและฉันแค่เป็นคนโง่หรืออาจกำลังใช้เทคโนโลยีที่ฉันยังไม่ได้กล่าวถึง หรืออาจจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ$\lambda = \aleph_0$ เหรอ?

สิ่งเดียวที่ฉันคิดได้คือการนับจำนวนแบบจำลองที่ไม่ใช่ไอโซมอร์ฟิกตามประเภทที่พวกเขาพอใจ แต่ฉันไม่คิดว่ามันจะใช้ได้

Answer 1

ในการตั้งค่าที่คุณกำลังอธิบายมีมากที่สุด $2^\lambda$ $L$- โครงสร้างและแน่นอนว่าไม่เกิน $2^\lambda$ คลาส isomorphism ของแบบจำลองของ $T$.

แก้ไขไฟล์ $\lambda \geq |L|+\aleph_0$และปล่อยให้ $M$ เป็นชุดของ cardinality $\lambda$.

แต่ละ $n$สัญลักษณ์ฟังก์ชัน -ary $f$ เราต้องตีความ $f$ เป็นฟังก์ชัน $f : M^n \to M$. มีตรง$\lambda^{(\lambda^n)} = 2^\lambda$ฟังก์ชั่นมากมายให้เลือก ในทำนองเดียวกันสำหรับแต่ละ$n$- สัญลักษณ์ความสัมพันธ์ที่เรามี $2^\lambda$ ตัวเลือกให้เลือกและสำหรับแต่ละสัญลักษณ์คงที่เรามีเท่านั้น $\lambda$ ตัวเลือกให้เลือก

ดังนั้นสำหรับแต่ละสัญลักษณ์ในภาษาที่เรามีมากที่สุด $2^\lambda$ทางเลือก เนื่องจากมีมากที่สุด$\lambda$ สัญลักษณ์ในภาษาจำนวนตัวเลือกทั้งหมดที่เราต้องเลือกมากที่สุดคือ $(2^\lambda)^\lambda = 2^{\lambda \times \lambda} = 2^\lambda$.