IMO 1998 - Combinatorics

Question

ฉันกำลังลองใช้ปัญหา IMO Combinatorics $1998$ P2 ที่เป็นเช่นนี้:

ในการแข่งขันมี $m$ ผู้เข้าแข่งขันและ $n$ ผู้พิพากษาที่ไหน $n \geq 3$เป็นจำนวนเต็มคี่ ผู้ตัดสินแต่ละคนให้คะแนนผู้เข้าแข่งขันแต่ละคนว่า "ผ่าน" หรือ "ไม่ผ่าน" สมมติ$k$ เป็นตัวเลขที่สำหรับผู้ตัดสินสองคนการให้คะแนนของพวกเขาตรงกันมากที่สุด $k$ผู้เข้าแข่งขัน. พิสูจน์ว่า$$\frac{k}{m}\geq \frac{n-1}{2n}$$

ฉันงงมากว่าจะเริ่มยังไงช่วยบอกคำแนะนำหน่อยได้ไหม

Answer 1

พิจารณาจำนวนชุดค่าผสม $(\{j_1, j_2\},c)$, ที่ไหน $\{j_1, j_2\}$ เป็นคู่ของผู้ตัดสินที่แตกต่างกันและ $c$เป็นผู้เข้าแข่งขันที่พวกเขาเห็นด้วย คุณสามารถมาถึงปริมาณนี้ได้สองวิธี:

1. รวมผู้เข้าแข่งขันจำนวนคู่ของผู้ตัดสินที่เห็นด้วยกับพวกเขา

2. รวมผู้ตัดสินมากกว่าคู่จำนวนผู้เข้าแข่งขันที่พวกเขาเห็นด้วย

จากนั้นปริมาณที่รวมอยู่ใน 1. สามารถถูกล้อมรอบด้านล่างด้วยนิพจน์ที่เกี่ยวข้อง $n$ (จำไว้ $n$ เป็นเลขคี่) ในขณะที่ปริมาณที่รวมอยู่ใน 2 อาจถูกล้อมรอบด้านบนด้วย $k$. การรวมกันทำให้ได้อสมการที่ต้องการ