การใช้ Pumping Lemma กับสตริงเฉพาะ
ระบุภาษา $ A = \{w \in \{a,b\}^{*} | w = w^{R}\}$ (เช่น palindromes โดยใช้สัญลักษณ์ $a, b$) ฉันกำลังพยายามตรวจสอบว่าสามารถใช้ Pumping Lemma กับสตริงของแบบฟอร์มได้หรือไม่ $s = a^{2p}$.
จากความเข้าใจของฉันเกี่ยวกับ Pumping Lemma เพื่อแสดงให้เห็นว่ามันคงอยู่ฉันจำเป็นต้องย่อยสลาย $ s $ เป็น $ s = xyz $ เช่นนั้น (1) $ xy^{i}z \in A, i \geq 0 $, (2) $ y \neq \epsilon $และ (3) $ |xy| \leq p $.
สำหรับกรณีที่ $ p \geq 2 $การสลายตัวนั้นสมเหตุสมผลสำหรับฉันและดูเหมือนจะเป็นเรื่องเล็กน้อย ตัวอย่างเช่นเมื่อ$ p = 2 $แล้ว $ s = aaaa $และสามารถย่อยสลายได้ $xyz$ ที่ไหน $x = a, y = a, z = aa $ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขข้างต้น สามารถใช้การเหนี่ยวนำเพื่อแสดงการระงับนี้สำหรับค่าที่มากขึ้นของ$ p $.
อย่างไรก็ตามฉันกำลังดิ้นรนในกรณีที่ $ p = 1 $. ที่นี่$ s = aa $และดูเหมือนว่าจะมีสัญลักษณ์ไม่เพียงพอที่จะย่อยสลายได้ $ xyz $. การเดาที่ดีที่สุดของฉันคือการเลือก$ x = a, y = a, z = \epsilon $แต่ด้วยเหตุผลบางประการสิ่งนี้ไม่ถูกต้องตามกฎหมายคุณสามารถกำหนดส่วนของ $ xyz $ เป็น $ \epsilon $เหรอ? นอกจากนี้ฉันเชื่อว่าการสลายตัวนี้จะไม่เป็นไปตามเงื่อนไข (3) ข้างต้น คุณสามารถให้คำแนะนำเกี่ยวกับการทำความเข้าใจสิ่งที่เกิดขึ้นในกรณีที่$ p = 1 $เหรอ?
ขอบคุณที่สละเวลา!
คำตอบ
สตริงว่างเป็นสตริงที่ถูกต้องเช่นเดียวกับชุดว่างเป็นชุดที่ถูกต้อง เราพูดคำนั้น$w \in \Sigma^*$สามารถสูบได้ตามพารามิเตอร์$p \geq 1$ และภาษา $L$ หากมีการสลายตัว $w = xyz$, ที่ไหน $x,y,z \in \Sigma^*$ ปฏิบัติตามข้อกำหนดสามประการดังต่อไปนี้:
- $|xy| \leq p$.
- $y \neq \epsilon$.
- $xy^iz \in L$ เพื่อทุกสิ่ง $i \geq 0$.
นิยามทางคณิตศาสตร์ไม่ได้ซ่อนอะไรเลย สามารถสูบคำได้หากตรงตามคำจำกัดความที่ระบุไว้ ไม่มากไม่น้อย.