การหาเมทริกซ์ระดับประถมศึกษา
ลองพิจารณาเมทริกซ์เหล่านี้ $$A=\begin{bmatrix}-1 & 1\\2 & 1\\\end{bmatrix}$$ $$ B =\begin{bmatrix} 1 & 2\\ -1 & 1\\ \end{bmatrix} $$
และคำถามคือการหาเมทริกซ์กลับด้าน $X$ ดังนั้น $AX=B$ และแสดงออก $X$เป็นผลคูณของเมทริกซ์ระดับประถมศึกษา2ตัว
สิ่งที่ฉันรู้ว่าฉันลองแล้ว: ฉันรู้ว่าคุณสามารถรับ X ได้อย่างง่ายดายโดยการกลับด้าน A และคูณด้วย B แต่ฉันต้องการเมทริกซ์เบื้องต้นสองตัวดังนั้นฉันจึงลองวิธีอื่น
$$(A\cdot E_{1})\cdot E_{2} = B$$
สิ่งที่ฉันทำคือพยายามทำให้ A เท่ากับการดำเนินการแถวประถมและทำแบบเดียวกันกับอีก 2 $\times$ เมทริกซ์เอกลักษณ์ 2 ตัว
$$\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1 & 1\\2 & 1\\\end{bmatrix}$$
$$R_{1} \iff R_{2}$$
$$\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 0\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 & 1\\-1 & 1\\\end{bmatrix}$$
$$R_{1} + R_{2} \implies R_{1} $$
$$\begin{bmatrix}1 & 1\\1 & 0\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 2\\-1 & 1\\\end{bmatrix}$$
ดังนั้นฉันจึงสามารถมาถึง C ได้ด้วยการดำเนินการเบื้องต้นสองครั้งเหมือนปัญหาที่ระบุไว้ แต่เมื่อฉันพยายามตรวจสอบด้วยสมการเดิมของฉัน:
$$(A\cdot E_{1})\cdot E_{2} = B $$ $$\begin{pmatrix}\begin{bmatrix}-1 & 1\\2 & 1\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 0\\\end{bmatrix}\end{pmatrix}\begin{bmatrix}1& 1\\1 & 0\\\end{bmatrix}$$
มันไม่เท่ากับ C ฉันไม่เข้าใจว่าฉันทำอะไรผิด? ฉันพยายามคำนวณซ้ำแล้วซ้ำเล่า แต่ก็ยังมาถึงสิ่งเดิม ความผิดพลาดของฉันอยู่ที่ไหน มันเป็นกระบวนการเอง?
คำตอบ
ลองคำนวณดูครับ $A^{-1}B$ แล้วคุณจะเห็นว่าเมทริกซ์นั้นแตกต่างจาก $E_1E_2$ ดังนั้นเนื่องจากการผกผันของตารางเมทริกซ์จึงไม่ซ้ำกัน (และอื่น ๆ $A^{-1}B$ ด้วย) วิธีการของคุณผิด
ในการแก้ปัญหาฉันจะใช้คุณสมบัติของเมทริกซ์ traspose คือ:
$$(KA)^T=A^TK^T$$
หากต้องการใช้สิ่งนี้ให้ค้นหาเมทริกซ์พื้นฐานสำหรับระบบ: $$KA^T = B^T$$ ด้วย $K=E_2E_1$แล้วลากทุกอย่างรับ:
$$(E_2E_1A^T)^T = (B^T)^T \iff AE_1^TE_2^T = B$$