การแก้ $AB+BA=XBX'$

Question

สมมติ $A$ คือ $d\times d$ เมทริกซ์ที่แน่นอนเป็นบวกฉันต้องการหาเมทริกซ์ $X$ ดังนั้นสิ่งต่อไปนี้เป็นจริงสำหรับเมทริกซ์แน่นอนเชิงบวกทั้งหมด $d\times d$ เมทริกซ์ $B$

$$AB+BA=XBX^T$$

วิธีแก้ปัญหามีอยู่เมื่อใด มีชื่อสำหรับสมการนี้หรือไม่?

Answer 1

ตามที่กล่าวมาสมการสามารถแก้ไขได้ถ้าและต่อเมื่อ $A$ คือเมทริกซ์สเกลาร์ที่เป็นบวก

ตั้งแต่ $AB+BA=XBX^T$สำหรับเมทริกซ์แน่นอนเชิงบวกทั้งหมด$B$ถ้าเราผ่าน $B$ ถึงขีด จำกัด สมการยังคงเป็นที่พอใจเมื่อ $B$เป็นบวกกึ่งไม่มีที่สิ้นสุด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง,$Auu^T+uu^TA=(Xu)(Xu)^T$ สำหรับเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ทุกตัว $u$. เนื่องจากอันดับของ RHS อยู่ที่อันดับหนึ่งมากที่สุด$Au$ ต้องเป็นผลคูณสเกลาร์ของ $u$. เช่น$u$ เป็นไปตามอำเภอใจซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ทุกตัวเป็นเวกเตอร์เฉพาะของ $A$ และด้วยเหตุนี้ $A$คือเมทริกซ์สเกลาร์ ด้วยประการฉะนี้$A=cI$ สำหรับบางคน $c>0$ เพราะ $A$ เป็นบวกแน่นอน

ในทางกลับกันถ้า $A=cI$ สำหรับบางคน $c>0$, เรามี $2cuu^T=(Xu)(Xu)^T$ สำหรับเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ทุกตัว $u$. ดังนั้น$Xu$ มีค่าเท่ากันกับ $\pm\sqrt{2c}u$ซึ่งหมายความว่าทางออกเดียวคือ $X=\pm\sqrt{2c}I$.

Answer 2

ก่อนอื่นเราพิสูจน์คุณสมบัติดังต่อไปนี้:

คุณสมบัติ 1:

ถ้า $\;M\;$ เป็นเมทริกซ์สมมาตรจริงมีเมทริกซ์สมมาตรอยู่ $\;M^{\frac{1}{2}}\;$ ดังนั้น $\;M^{\frac{1}{2}}\cdot M^{\frac{1}{2}}=M.\;$ ยิ่งไปกว่านั้นถ้า $\;M\;$ เป็นบวกแน่นอนแล้ว $\;M^{\frac{1}{2}}\;$ เป็นเรื่องจริง

หลักฐาน:

ด้วยการใช้ทฤษฎีบทสเปกตรัมสำหรับเมทริกซ์สมมาตรจริงเราพบว่ามีเมทริกซ์ตั้งฉากอยู่ $\;U\;$ ดังนั้น $\;U^T\cdot M\cdot U=F\;$ เป็นเส้นทแยงมุมดังนั้น

$M=U\cdot F\cdot U^T\;$.

ปล่อย $\;G\;$ เป็นเมทริกซ์แนวทแยงซึ่งรายการเป็นรากที่สองของรายการของ $\;F\;,\;$ จึงได้ผลลัพธ์ที่ $\;F=G\cdot G\;.$

เมทริกซ์ $\;M^{\frac{1}{2}}=U\cdot G\cdot U^T\;$ สมมาตรและ

$\;M^{\frac{1}{2}}\cdot M^{\frac{1}{2}}=U\cdot G\cdot U^T\cdot U\cdot G\cdot U^T=U\cdot G\cdot G\cdot U^T=\\\qquad\qquad\;\;=U\cdot F\cdot U^T=M\;.$

ยิ่งไปกว่านั้นถ้า $\;M\;$ เป็นบวกแน่นอนค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดเป็นบวกดังนั้นรายการทแยงมุมทั้งหมดของเมทริกซ์ $\;F\;$ เป็นบวกด้วยดังนั้น $\;G\;$ และ $\;M^{\frac{1}{2}}\;$ เป็นเมทริกซ์จริง

---

คุณสมบัติ 2:

ถ้า $\;M\;$ คือเมทริกซ์สมมาตรจริงที่กลับตัวไม่ได้แล้ว

$Y^T\cdot Y=M\implies\exists\;U$ เมทริกซ์มุมฉากเช่นนั้น $\;Y=U\cdot M^{\frac{1}{2}}\;.$

หลักฐาน:

ด้วยการใช้คุณสมบัติ 1 ตามมาว่ามีเมทริกซ์สมมาตร $\;M^{\frac{1}{2}}\;$ ดังนั้น $\;M^{\frac{1}{2}}\cdot M^{\frac{1}{2}}=M\;.$

ตั้งแต่ $\;M\;$ กลับไม่ได้แล้ว $\;\det M\ne0\;,\;$ ด้วยเหตุนี้ $\;\det\left(M^{\frac{1}{2}}\right)\ne0\;,\;$ ดังนั้น $\;M^{\frac{1}{2}}\;$ กลับหัวได้เช่นกัน

ระบุว่า $M^{\frac{1}{2}}$ สมมาตรแล้ว $\left(M^{\frac{1}{2}}\right)^{-1}$ ก็สมมาตรเช่นกัน

ถ้า $\;Y^T\cdot Y=M\;,\;$ แล้ว

$Y^T\cdot Y=M^{\frac{1}{2}}\cdot M^{\frac{1}{2}}\;,$

$\left(M^{\frac{1}{2}}\right)^{-1}\cdot Y^T\cdot Y\cdot\left(M^{\frac{1}{2}}\right)^{-1}=I\;,$

$\left[Y\cdot\left(M^{\frac{1}{2}}\right)^{-1}\right]^T\cdot\left[Y\cdot\left(M^{\frac{1}{2}}\right)^{-1}\right]=I\;,\;$ ด้วยเหตุนี้

$Y\cdot\left(M^{\frac{1}{2}}\right)^{-1}=U\;$ เป็นเมทริกซ์ภายนอกและ

$Y=U\cdot M^{\frac{1}{2}}\;.$

---

คุณสมบัติ 3:

ถ้า $\;M\;$ คือเมทริกซ์สมมาตรที่แท้จริงแล้ว

$Y=U\cdot M^{\frac{1}{2}}\;$ ที่ไหน $\;U\;$ คือเมทริกซ์มุมฉากใด ๆ $\implies Y^T\cdot Y=M\;.$

หลักฐาน:

$Y^T\cdot Y=\left(U\cdot M^{\frac{1}{2}}\right)^T\cdot\left(U\cdot M^{\frac{1}{2}}\right)=M^{\frac{1}{2}}\cdot U^T\cdot U\cdot M^{\frac{1}{2}}=\\\qquad\quad=M^{\frac{1}{2}}\cdot M^{\frac{1}{2}}=M\;.$

---

ตอนนี้เราจะแก้สมการเมทริกซ์:

$X\cdot B\cdot X^T=AB+BA\;,\quad\color{blue}{(*)}$

ที่ไหน $\;A\;$ และ $\;B\;$ เป็นเมทริกซ์ที่แน่นอนในเชิงบวก

ด้วยการใช้ทฤษฎีบทสเปกตรัมสำหรับเมทริกซ์สมมาตรจริงเราพบว่ามีเมทริกซ์ตั้งฉากอยู่ $\;P\;$ ดังนั้น $\;P^T\cdot B\cdot P=D\;$ เป็นเส้นทแยงมุมดังนั้น

$B=P\cdot D\cdot P^T\;$.

ปล่อย $\;E\;$ เป็นเมทริกซ์แนวทแยงซึ่งรายการเป็นรากที่สองของรายการของ $\;D\;,\;$ จึงได้ผลลัพธ์ที่ $\;D=E\cdot E\;.$

ระบุว่า $\;B\;$ เป็นเมทริกซ์แน่นอนเชิงบวกค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดเป็นบวกดังนั้นรายการแนวทแยงทั้งหมดของ $\;D\;$ และ $\;E\;$ เป็นบวกด้วยดังนั้น $\;D\;$ และ $\;E\;$ เป็นเมทริกซ์แบบกลับด้าน

$X\cdot B\cdot X^T=AB+BA\;,$

$X\cdot P\cdot E\cdot E\cdot P^T\cdot X^T=AB+BA\;,$

$\left(E\cdot P^T\cdot X^T\right)^T\cdot E\cdot P^T\cdot X^T=AB+BA\;.$

โดยให้ $\;Y=E\cdot P^T\cdot X^T\;,\;$ เราได้รับสิ่งนั้น

$Y^T\cdot Y=AB+BA\;.\quad\color{blue}{(**)}$

ตั้งแต่ $\;AB+BA\;$ เป็นเมทริกซ์สมมาตรจริงโดยใช้คุณสมบัติ 3 เป็นไปตามนั้น

$Y=Q\cdot\left(AB+BA\right)^{\frac{1}{2}}$

เป็นคำตอบของสมการเมทริกซ์ $(**)$ เมทริกซ์มุมฉากใด ๆ $\;Q\;$ คือ.

$Y=Q\cdot\left(AB+BA\right)^{\frac{1}{2}}\;,\;$

$E\cdot P^T\cdot X^T=Q\cdot\left(AB+BA\right)^{\frac{1}{2}}\;,\;$

$X^T=P\cdot E^{-1}\cdot Q\cdot\left(AB+BA\right)^{\frac{1}{2}}\;,\;$

$X=\left(AB+BA\right)^{\frac{1}{2}}\cdot Q^T\cdot E^{-1}\cdot P^T\;.$

ดังนั้น,

$X=\left(AB+BA\right)^{\frac{1}{2}}\cdot Q^T\cdot E^{-1}\cdot P^T\;,$

ที่ไหน $\;E,\;P\;$ เป็นเมทริกซ์เช่นนั้น $\;B=P\cdot E\cdot E\cdot P^T\;,$

เป็นคำตอบของสมการเมทริกซ์ $(*)$ เมทริกซ์มุมฉากใด ๆ $\;Q\;$ คือ.