การกู้คืน Subobject Poset จาก Subobject Classifier

Question

ในทฤษฎีทอปโทสวิธีหนึ่งในการใช้ถ้อยคำเกี่ยวกับบทบาทของตัวจำแนกวัตถุย่อย $\Omega$ เป็นวัตถุที่แสดงถึง functor วัตถุย่อย

nlab (และแหล่งที่มาทั้งหมดที่ฉันพบผ่าน googling) อ้างถึง $\text{Sub}(-)$ เป็น functor จาก $\mathcal{E}$ ถึง $\mathsf{Set}$. อย่างไรก็ตามเรารู้ดีว่า$\text{Sub}(X)$มักจะเป็น poset (จริง ๆ แล้วใน topos มันเป็นพีชคณิตที่น่ากลัวเสมอ) ตั้งแต่$\Omega$ตัวมันเองก็เป็นพีชคณิตที่น่าเกรงขามเหมือนกันมันให้ความรู้สึกว่าเราควรจะสามารถกู้คืนโครงสร้างโพเซตของ$\text{Sub}(X)$ โดยดูเฉพาะฟังก์ชันลักษณะที่เกี่ยวข้อง $\chi_A : X \to \Omega$.

ใน $\mathsf{Set}$ มันชัดเจนโดยสังหรณ์ใจว่าจะทำอย่างไร: โครงสร้างโพเซ็ตบนวัตถุย่อยจะถูกกู้คืนอย่างแน่นอนโดยการสั่งซื้อแบบชี้ในฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ $\chi_A \leq \chi_B$. สิ่งนี้ให้ความรู้สึกว่ามันควรจะใช้งานได้กับโทโพที่ไม่ได้ตั้งใจ แต่ฉันกำลังดิ้นรนเพื่อหาวลีที่เป็นธรรมชาติ

ขอบคุณล่วงหน้า ^ _ ^

Answer 1

เราสามารถกำหนดคำสั่งบางส่วนได้ $\le$ บน $\operatorname{Hom}(U, \Omega)$ โดยพูดว่า $f \le g$ ถ้าและต่อเมื่อ $(f \rightarrow g) = \operatorname{true} \circ ()$ ที่ไหน $\operatorname{true} : 1 \to \Omega$ มาจากความหมายของลักษณนามวัตถุย่อยและ $() : U \to 1$ เป็น morphism ที่เป็นเอกลักษณ์จากคุณสมบัติสากลของ $1$เป็นวัตถุสุดท้าย และ${\rightarrow} : \Omega \times \Omega \to \Omega$ เป็นตัวดำเนินการ "ส่วนเสริมสัมพัทธ์" จากโครงสร้างของ $\Omega$ เป็นวัตถุเกี่ยวกับพีชคณิต Heyting ของ topos

จากนั้นสำหรับวัตถุย่อย $A, B \in \operatorname{Sub}(U)$เรามีสิ่งนั้น $A \subseteq B$ ถ้าและต่อเมื่อ $\chi_A \le \chi_B$.

Answer 2

นี่เป็นทางอ้อมเล็กน้อย แต่ได้ผล โดยคำย่อของ Yoneda ทุกการดำเนินการตามธรรมชาติในวัตถุย่อยจะสอดคล้องกับการดำเนินการบน$\Omega$. โดยเฉพาะอย่างยิ่งจุดตัดและสหภาพ (ผลิตภัณฑ์และผลิตภัณฑ์ร่วม) ของวัตถุย่อยสอดคล้องกับการดำเนินการสองอย่าง$\cap, \cup : \Omega \times \Omega \to \Omega$ การทำ $\Omega$ตาข่ายภายใน การดำเนินการอย่างใดอย่างหนึ่งเหล่านี้สามารถใช้เพื่อกำหนดการจัดลำดับ: เรามี$a \le b$ iff $a \cup b = b$ iff $a \cap b = a$.