การแลกเปลี่ยนอนุกรมและปริพันธ์

Question

ฉันรู้ว่าฉันสามารถใช้ทฤษฎีบทคอนเวอร์เจนซ์ Lebesgue หรือโมโนโทนเพื่อแลกเปลี่ยนขีด จำกัด ของผลรวมบางส่วนและอินทิกรัล Lebesgue โดยให้อนุกรมกำลังหรืออนุกรมฟังก์ชันทั่วไป แต่โดยทั่วไปแล้วจะได้รับชุด$\sum_{n=0}^{\infty}a_n$ ซึ่งมาบรรจบกันและกำหนด $\int_0^\infty\sum_{n=0}^{\infty}a_n f_n(u)du$ ด้วย $f_n(u)$บูรณาการฉันสงสัยว่าเมื่อใดที่ฉันสามารถแลกเปลี่ยนการรวมและชุด โดยเฉพาะอย่างยิ่งในบริบทของการสรุป Borel ที่กำหนด$\int_0^\infty e^{-u} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_nu^n}{n!}du$ฉันสงสัยว่าฉันจะแสดงให้เห็นได้อย่างไรถ้า $\sum_{n=0}^{\infty}a_n$มาบรรจบกันแล้วฉันสามารถแลกเปลี่ยนอินทิกรัลและอนุกรมได้ (ฉันรู้ว่าสำหรับซีรีส์พลัง$\sum_{n=0}^{\infty}a_n z^n$ งานนี้สามารถทำได้โดยใช้รัศมีของการลู่เข้าและฉันสามารถหาสิ่งที่โดดเด่นได้)

Answer 1

ตามที่เจอรัลด์เอ็ดการ์แนะนำเราสามารถใช้ทฤษฎีบท Fubini - Tonelli โดยทฤษฎีบท Tonelli$$\int_0^\infty \sum_{n=0}^{\infty}\Big|e^{-u} \frac{a_nu^n}{n!}\Big|\,du =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{|a_n|}{n!}\int_0^\infty e^{-u} u^n\,du =\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|<\infty.$$ ดังนั้นทฤษฎีบท Fubini จึงใช้ได้นั่นคือเราสามารถแลกเปลี่ยนอินทิกรัลกับอนุกรมได้