การพิสูจน์เกณฑ์ของ Abel

Question

ฉันต้องการพิสูจน์ข้อความต่อไปนี้:

ให้เป็น $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k$ อนุกรมคอนเวอร์เจนท์และ $\left(b_k\right)_{n\in\mathbb{N}}$ลำดับเสียงเดียวและขอบเขต แล้ว$\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_kb_k$ ยังบรรจบกันอีกด้วย

ฉันรู้ว่ามีคำถามสองสามข้อเกี่ยวกับปัญหานี้อยู่แล้ว แต่พวกเขาส่วนใหญ่มีสมมติฐานเพิ่มเติม (เช่น $\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ ด้วย $b_k\geq 0$ เพื่อทุกสิ่ง $k$).

---

แนวทางของฉัน:

เรากำหนด $A_n:=\sum\limits_{k=1}^{n} a_k$. เช่น$A_n$ มาบรรจบกันมีขอบเขต $A$ ดังนั้น $|A_n|\leq A$ เพื่อทุกสิ่ง $n$. เรารู้ว่า$\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ มาบรรจบกันและด้วยเหตุนี้ลำดับ $\left(A_kb_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ยังเป็นคอนเวอร์เจนต์ (ผลคูณของสองลำดับคอนเวอร์เจนท์) ให้เป็น$n_1$ และ $n_2$ ดัชนีสองตัวสำหรับทุกคน $n,m$ ด้วย $n>m>n_1$ มันถือ $|A_nb_n-A_mb_m|<\frac{\epsilon}{2}$ และสำหรับทุกคน $n,m$ ด้วย $n>m>n_2$ มันถือ $|b_n-b_m|<\frac{\epsilon}{2A}$. ตอนนี้เรากำหนด$n_0:=\max\{n_1,n_2\}$. ด้วยเหตุนี้เราจึงใช้คำหลักของ Abel (การสรุปโดยส่วนต่างๆ) และตามมาสำหรับทุกคน$n>m>n_0$:

$$ |\sum\limits_{k=m+1}^{n} a_kb_k|=|A_nb_n-A_mb_m+\sum\limits_{k=m}^{n-1} A_k(b_k-b_{k+1})|\leq |A_nb_n-A_mb_m|+\sum\limits_{k=m}^{n-1} |A_k(b_k-b_{k+1})| \cdots $$ ถ้า $\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ ลดลงอย่างน่าเบื่อหน่ายดังนี้: $$ \cdots<\frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} |A_k|(b_k-b_{k+1})\leq \frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} A(b_k-b_{k+1})=\frac{\epsilon}{2}+A (b_m-b_n)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon A}{2A}=\epsilon. $$

ถ้า $\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ เพิ่มขึ้นอย่างน่าเบื่อหน่ายดังต่อไปนี้: $$ \cdots<\frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} |A_k|(b_{k+1}-b_k)\leq \frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} A(b_{k+1}-b_k)=\frac{\epsilon}{2}+A (b_n-b_m)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon A}{2A}=\epsilon. $$ ดังนั้นในทั้งสองกรณี $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_kb_k$ เป็นไปตามเกณฑ์ Cauchy และด้วยเหตุนี้จึงมาบรรจบกัน

สิ่งนี้ถูกต้องหรือมีแนวทางที่สง่างาม / เร็วกว่านี้หรือไม่?

Answer 1

สำหรับแนวทางอื่นเราสามารถแสดงให้เห็นว่าลำดับของผลรวมบางส่วนมาบรรจบกันโดยไม่ใช้เกณฑ์ Cauchy เรามีขีด จำกัด$\lim_{n \to \infty}A_n = \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^na_k =A$ และ $\lim_{n\to \infty}b_n = b .$

เราได้ข้อสรุปตามส่วนต่างๆ

$$S_n =\sum_{k=1}^n a_kb_k = a_1b_1+\sum_{k=2}^n (A_k - A_{k-1})b_k = a_1b_1+\sum_{k=2}^{n} A_k b_k- \sum_{k=2}^{n} A_{k-1} b_k \\ = \sum_{k=1}^{n} A_k b_k- \sum_{k=1}^{n-1} A_{k} b_{k+1} = A_nb_{n+1} + \sum_{k=1}^{n} A_k (b_k - b_{k+1})$$

ซีรี่ย์ $\sum(b_k - b_{k-1}) $ มาบรรจบกันตั้งแต่ $\sum_{k=1}^n (b_k - b_{k+1}) = b_1 - b_{n+1} \to b_1 - b$ เช่น $n \to \infty$. ตั้งแต่$(A_k)$ เป็นลำดับที่มีขอบเขตและข้อกำหนด $(b_k- b_{k+1})$ เป็นเครื่องหมายเดียวกันทั้งหมดเป็นไปตามนั้น $\sum A_k(b_k - b_{k+1})$ บรรจบกัน

ดังนั้นซีรีส์ $\sum a_kb_k$ มาบรรจบกันตั้งแต่

$$\sum_{k=1}^\infty a_kb_k = \lim_{n \to \infty}A_nb_{n+1} + \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n} A_k (b_k - b_{k+1}) = Ab + \sum_{k=1}^\infty A_k(b_k - b_{k+1})$$

Answer 2

ตามเกณฑ์ของ Dirichlet อันที่จริงสมมติว่า$b_k \le b_{k+1}$ และ $\lim b_k = b$.

แล้ว

\begin{align} \sum_{k=1}^n a_k b_k &= \sum_{k=1}^n a_k b - a_k (b - b_k) \\ &= b\sum_{k=1}^n a_k - \sum_{k=1}^n a_k (b - b_k). \end{align}

ผลรวมแรกมาบรรจบกันเนื่องจากเป็นสมมติฐานและการบรรจบกันของผลรวมที่สองตามมาจากทฤษฎีบทดังกล่าว

แต่นี่ไม่ใช่การปรับปรุงข้อโต้แย้งของคุณเนื่องจากการพิสูจน์เกณฑ์ของ Dirichlet ตามปกติจะทำผ่านการสรุปโดยส่วนต่างๆ