การผูก $\mathbb{E}|X|^p $ และ $\mathbb{E}|Y|^p$ โดย $\mathbb{E}|X+Y|^p$ [ซ้ำ]

Question

ฉันกำลังพยายามพิสูจน์ข้อความต่อไปนี้:

ปล่อย $X, Y$เป็นตัวแปรสุ่มอิสระสองตัว สำหรับบางคน$p>0$, $\mathbb{E}(|X+Y|^p)<\infty$แล้ว $\mathbb{E}(|X|^p)$ และ $\mathbb{E}(|Y|^p)$ มีข้อ จำกัด ทั้งคู่

ปัญหาที่ฉันพบคืออสมการทั้งหมดที่ฉันคิดได้ในกรณีนี้นั้นสวนทางกับสิ่งที่ฉันต้องการพิสูจน์จริงๆ ตัวอย่างเช่นความไม่เท่าเทียมกันของ Minowski ทำให้ฉันสามารถสรุปได้$$\mathbb{E}|X+Y|^p \leq [(\mathbb{E} |X|^p)^{1/p} +(\mathbb{E} |Y|^p)^{1/p}]^p $$แต่สิ่งนี้ไม่เป็นประโยชน์เลยในแง่ของทิศทางของความอยากรู้อยากเห็น ฉันยังพยายามหาวิธีที่จะใช้สมมติฐานความเป็นอิสระ ฉันจะขอบคุณถ้ามีคนให้คำใบ้

Answer 1

ตั้งแต่ $|X+Y|^p$ สามารถผสานรวมกับ $\mathbb P$เราสามารถกำหนดความคาดหวังตามเงื่อนไข $\mathbb E[|X+Y|^p | \mathcal G]$ ด้วยความเคารพใด ๆ $\sigma-$ฟิลด์ $\mathcal G \subset \mathcal F$. ปล่อย$\mathcal G = \sigma(X)$ ตัวอย่างเช่น.

โดยคุณสมบัติของความคาดหวังตามเงื่อนไขและความเป็นอิสระเราได้รับ:

$$ \infty > \mathbb E[|X+Y|^p] = \mathbb E[ \mathbb E[ |X+Y|^p | \sigma(X) ] ] = \mathbb E[ H(X)] $$

ที่ไหน $H(t)= \mathbb E[|t+Y|^p]$. โดยเฉพาะอย่างยิ่งเราต้องมี$H(X) < \infty$ $\mathbb P-$เกือบจะแน่นอนดังนั้นเราจึงต้องมีอย่างน้อยหนึ่งอย่าง $t \in \mathbb R$ ดังนั้น $H(t) < \infty$ซึ่งหมายความว่ามีบางอย่าง $t \in \mathbb R$ ดังนั้น $\mathbb E[|t+Y|^p] < \infty$

แต่แล้ว $$\mathbb E[|Y|^p] = \mathbb E[ |(Y+t) + (-t)|^p] \le \Big(\big(\mathbb E[|Y+t|^p]\big)^{\frac{1}{p}} + |t| \Big)^p < \infty$$

ในทำนองเดียวกันการเปลี่ยนเป็น $\sigma(Y)$ เราจะได้รับ $\mathbb E|X|^p < \infty$.