การปิดในทฤษฎีโครงร่าง

Question

ปล่อย $X$ เป็นโครงการและ $(U_i)_{i\in I}$ ผ้าคลุมแบบเปิด

(1) กำหนดส่วนย่อย $Z\subset X$ทำไม $Z\cap U_i$ ปิดให้บริการทั้งหมด $i$ บอกเป็นนัยว่า $Z$ ถูกปิด?

(2) ให้ $A$การแบก. ให้แผนการ morphism$f:X\rightarrow \operatorname{spec} A$ ดังนั้น $f_Y:X \times_{\operatorname{spec}A} Y\rightarrow Y$ ถูกปิดสำหรับ Affine ทั้งหมด $A$ แผนการ $Y$นี่หมายความว่า $f$ ปิดทั่วโลก?

Answer 1

(1) เพราะงั้น

$$X-Z=\bigcup_i \left(U_i-(U_i\cap Z)\right)$$

และตั้งแต่นั้นมา $U_i\cap Z$ ปิดใน $U_i$ เราเห็นว่า $U_i-(U_i\cap Z)$ เปิดให้บริการใน $U_i$ จึงเปิดเข้ามา $X$.

(2) ใช่โดย 1) เพื่อตรวจสอบว่า$f$ ปิดให้บริการในระดับสากล $Y$ เป็นยังไงก็ได้ $A$- หลักสูตร เราจำเป็นต้องแสดงสิ่งนั้น$f(X_Y)$ ปิดใน $Y$. แต่ให้$Y=\bigcup_i U_i$ สำหรับ Affine Open subschemes $U_i$ ของ $Y$. โดย 1) พอเพียงที่จะเห็นว่า$f(X_Y)\cap U_i$ ปิดให้บริการทั้งหมด $i$. แต่โปรดทราบว่า$f(X_Y)\cap U_i=f(X_{U_i})$. อันที่จริงสิ่งนี้มาจากแผนภาพคาร์ทีเซียน

$$\begin{matrix} X_{U_i} & \to & X_Y & \to & X\\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow\\ U_i & \to & Y & \to & \mathrm{Spec}(A)\end{matrix}$$

ดังนั้นมันก็เพียงพอแล้วที่จะแสดงให้เห็นว่า $f(X_{U_i})$ถูกปิด. แต่ตั้งแต่$U_i$ เป็นความสัมพันธ์ $A$-scheme เรารู้สิ่งนี้โดยการสันนิษฐาน

Answer 2

รูปแบบ จำกัด ของโครงร่างถูกปิด . ดูคำตอบที่นี่สำหรับส่วนแรก

ปล่อย $Y$ ถั่ว $A$- หลักสูตร พูด$Y=\bigcup_i Y_i$ ที่ไหน $Y_i \subset Y$เป็นโปรแกรมย่อย Affine ที่เปิดอยู่ จะแสดง$f_Y : X\times_A Y\rightarrow Y$เป็นแผนที่ปิด ปล่อย$C\subset X\times_A Y$. ชุด$C_i:= C\cap X\times_A Y_i=(id \times \theta_i)^{-1}(C)$. แล้ว$C_i$ ปิดใน $X\times_A Y_i$ ซึ่งเป็นโครงการย่อยแบบเปิดของ $X\times_A Y$. เรามีแผนภาพการสับเปลี่ยน$\require{AMScd}$ \ start {CD} X \ times_A Y_i @> {f_ {Y_i}} >> Y_i \\ @V {id \ times \ theta_i} VV @V {\ theta_i} VV \\ X \ times_A Y @> {f_Y} >> ใช่ {CD} $f_Y(C)\cap Y_i=\theta_i^{-1}f_Y(C)=f_{Y_i}(id\times \theta_i)^{-1}C=f_{Y_i}(C_i)$ ซึ่งปิดใน $Y_i$โดยการสันนิษฐาน ในส่วนก่อนหน้านี้$f(C)$ ปิดใน $Y$. ด้วยประการฉะนี้$f$ ถูกปิดโดยทั่วไป