การปิดเส้นโค้งที่ไม่มีเหตุผล

Question

สำหรับจำนวนตรรกยะ q ใด ๆ จำนวนที่ จำกัด ของส่วนโค้งวงกลมที่สอดคล้องกันแต่ละส่วนที่วัดได้2πqเรเดียนสามารถประกอบเป็นเส้นโค้งปิดแบบต่อเนื่อง มีความเป็นไปได้อื่น ๆ อีกมากมาย แต่สำหรับเศษส่วนของรูปแบบ 1 / n เราสามารถใช้ n สำเนาเพื่อสร้างวงกลมใหม่ได้ และโดยทั่วไปสำหรับ a / b สำเนา b สามารถปิดเส้นโค้งที่ครอบคลุมวงกลมได้ครั้งละหนึ่งครั้ง

มีจำนวนอตรรกยะ p หรือไม่ที่ทำให้ส่วนโค้ง2πp - เรเดียน จำกัด สามารถประกอบเป็นเส้นโค้งปิดต่อเนื่องโดยไม่มีมุมได้หรือไม่?

Answer 1

คุณสามารถ.

คุณสามารถทำขวา - ซ้าย - ขวา - ซ้าย, ซ้าย - ซ้าย - ขวา - ซ้าย - ขวา ตามความสมมาตรคุณจะต้องกลับไปยังจุดบนแกนเดียวกันกับจุดที่คุณเริ่มต้น

ด้วยการปรับมุมคุณสามารถเลื่อนจุดสิ้นสุดไปข้างหน้าหรือข้างหลังและทำให้ตรงกับตำแหน่งเริ่มต้น เส้นทางไม่สม่ำเสมอพอที่จะจบลงด้วยความไม่ลงตัว

มุมหนึ่งที่ได้ผลคือ$1.823476582$ เรเดียนหรือ $0.290215312 \times2\pi$.
ฉันไม่มีข้อพิสูจน์ว่ามันไร้เหตุผลจริง ๆ แต่ดูเหมือนว่า