การสลายมัดธรรมดา

Question

ฉันกำลังอ่านบทความเกี่ยวกับเรขาคณิตเชิงสัญญลักษณ์ ฉันมาถึงจุดที่ผู้เขียนใช้บันเดิลปกติ (ซึ่งฉันรู้คำจำกัดความ แต่ไม่เคยทำงานด้วย) เขาย่อยสลายมัดปกติที่กำหนดให้เป็นผลรวมของอีกสองมัดปกติ ฉันไม่สามารถให้คำถามที่ชัดเจนและชุดปกติที่ฉันกำลังพูดถึงได้เพราะสิ่งนี้จะต้องแนะนำหลาย ๆ อย่าง แต่ฉันคิดว่าเขาใช้อาร์กิวเมนต์ต่อไปนี้:

ให้ M เป็นท่อร่วมที่ราบรื่นและให้ C และ P เป็นสองหน่วยย่อยของ M ดังนี้: $ C \subset P \subset M.$

ให้ N เป็นมัดปกติของ C ใน M

$N_1:=$ กลุ่มปกติของ C ใน P.

$N_2:=$ กลุ่มปกติของ P ใน M จำกัด ไว้ที่ C

จากนั้นเราจะได้รับ $N = N_1 \oplus N_2.$

คำถามของฉันคือประการแรกความหมายของการ จำกัด บันเดิลปกติเป็น submanifold คืออะไร (ตามที่ใช้เพื่อกำหนดบันเดิลปกติ $N_2)$และอันที่สองคืออาร์กิวเมนต์ข้างต้นเป็นจริงกล่าวคือคือ $N = N_1 \oplus N_2.$ เหรอ?

Answer 1

โดยทั่วไปแล้วจะได้รับชุดเวกเตอร์ $\pi:B\to M$ และ submanifold ที่ฝังไว้ $S\subseteq M$หนึ่งสามารถกำหนดบันเดิลที่ จำกัด เป็น $R=\pi^{-1}(S)$โดยมีการฉายภาพโดย $\pi|_R:R\to S$. นี่เป็นชุดเวกเตอร์ด้วย ข้อ จำกัด นี้ยังสามารถกำหนดเป็นบันเดิลแบบดึงกลับได้$R=\iota^*B$ ที่ไหน $\iota:S\to M$ คือแผนที่รวม

สำหรับ qustion ที่สองของคุณคำตอบคือใช่ สิ่งนี้สามารถเห็นได้จากการสังเกตว่าสำหรับ$p\in C$เรามีการสลายตัว $T_pM=T_pP\oplus N_pP$ และ $T_pP=T_pC\oplus N_pC$ ที่ไหน $N_pC$ หมายถึงพื้นที่ปกติ wrt $P$.