การสร้าง homotopy
ปล่อย $X,Y$ เป็นช่องว่างโทโพโลยีและ $f,g:X \rightarrow Y$เป็นแผนที่ต่อเนื่อง สมมติ$f,g$ homotopic โดย homotopy $H:X \times [0,1] \rightarrow Y$. ปล่อย$\gamma$ เป็นเส้นทางใน $Y$ ด้วยจุดสิ้นสุด $y_0=f(x_0)$ และ $z_0=g(x_0)$ ที่กำหนดโดย $\gamma(t)=H(x_0,t)$.
ปล่อย$\alpha:[0,1] \rightarrow X$ เป็นห่วง $X$ ด้วย $\alpha(0)=\alpha(1)=x_0$.
ฉันอยากจะแสดงให้เห็นว่าเส้นทาง$f \circ \alpha$ และ $\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma})$ เป็นเส้นทางการเคลื่อนที่โดยการสร้าง homotopy $G:[0,1] \times [0,1] \rightarrow Y$.
ฉันรู้แล้ว$\gamma$ ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงของไอโซมอร์ฟิซึมของจุดฐาน $T_{\gamma}:\pi_1(Y;z_0) \rightarrow \pi_1(Y;y_0)$ ให้โดย $T_{\gamma}([\beta])=[\gamma \ast \beta \ast \bar{\gamma}]$ เพื่อทุกสิ่ง $[\beta]\in \pi_1(Y;z_0)$.
ฉันไม่รู้วิธีสร้าง homotopy นี้$G$ โดยเฉพาะ แต่ฉันรู้ว่าต้องเป็นไปตามสิ่งต่อไปนี้: $$G(s,0)=(f \circ \alpha)(s)$$ $$G(s,1)=(\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma}))(s)$$ $$G(0,t)=(f \circ \alpha)(0)=(\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma}))(0)$$ $$G(1,t)=(f \circ \alpha)(1)=(\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma}))(1).$$
คำตอบ
ทฤษฎี: ให้ $h:X \to Y$เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ถ้า$α,β$ เป็นเส้นทางโฮโมโทปิกใน $X$ แล้ว $hoα$ และ $hoβ$ มีอารมณ์ขุ่นมัวใน $Y$.
เราได้รับว่ามีแผนที่ต่อเนื่อง$H:X×I \to Y$ ดังนั้น $H(x,0)=f(x)$ และ $H(x,1)=g(x)$.
ดังนั้นเพื่อแสดงเส้นทางนั้น$foα$ และ $\gamma \ast (goα) \ast \hat \gamma$ เป็นอารมณ์ที่เราต้องมองหาเส้นทางใน $X×I$ ดังนั้นภาพของพวกเขาภายใต้ H คือ $foα$ และ $\gamma \ast (goα) \ast \hat \gamma$.
ปล่อย$c(t)=(x_0,t)$, $p(s)=(α(s),0)$, $q(s)=(α(s),1)$. ดังนั้น$p$ และ $c \ast q \ast \hat c$เป็นเส้นทางที่เราต้องการ
ตอนนี้ให้$G:I×I \to X×I$ กำหนดเป็น $G(s,t)=(α(s),t)$. ตอนนี้ถ้าเราสามารถหาเส้นทางใน$I×I$ ดังนั้นภาพของพวกเขาภายใต้ G คือ $p$ และ $c \ast q \ast \hat c$ เราทำเสร็จแล้วเพราะนั่นหมายความว่า $p$ และ $c \ast q \ast \hat c$มีอารมณ์แปรปรวน
ปล่อย$a(t)= (0,t)$, $b(s)=(s,1)$, $c(t)=(1,t)$ และ $d(s)=(s,0)$.
จะเห็นได้ว่า$d$ และ $a \ast b \ast \hat c$เป็นเส้นทางที่จำเป็น ตั้งแต่ทั้งสองเส้นทางนี้$d$ และ $a \ast b \ast \hat c$ มีจุดเริ่มต้นและจุดปลายทางเดียวกันและตั้งแต่นั้นมา $I×I$เชื่อมต่อกันง่ายๆ หมายถึง$p$ และ $c \ast q \ast \hat c$ เป็นนัยยะเกี่ยวกับอารมณ์ $foα$ และ $\gamma \ast (goα) \ast \hat \gamma$ มีอารมณ์แปรปรวน