การอนุรักษ์พลังงานจลน์แบบหมุน

Question

พิจารณาโซ่รอบเฟืองสองอันซึ่งเป็นหนึ่งในรัศมี $r_1$ และอื่น ๆ ของ $r_2$. พูดเกียร์$r_1$ ติดอยู่กับอุปกรณ์หมุนที่ให้แรงบิด $\tau$. หลังจากหนึ่งในสี่ของรอบการหมุนคุณมีพลังงานป้อนเข้า$E = \tau\cdot\pi/4$ พลังงานหมุนเวียนเข้าสู่ระบบ

สมมติว่าคุณมีระบบเดียวกัน แต่คราวนี้เกียร์ $r_2$ ถูกแทนที่ด้วยเฟืองอื่นของรัศมี $r_3$ ที่ไหน $r_3>r_2$. อีกครั้งคุณหมุนด้วยแรงบิด$ \tau$ เป็นเวลาหนึ่งในสี่รอบเพื่อให้คุณมีพลังงานเท่ากันในระบบ

คำถามของฉันคือ:

1. จะระบบ 2 (พร้อมเกียร์ $r_3$) จะหมุนเร็วกว่าระบบ 1 (พร้อมเกียร์ $r_2$)? ฉันคิดว่ามันน่าจะเป็นเพราะมีเกียร์ที่ใหญ่ขึ้น

2. ถ้ามันหมุนเร็วขึ้นมันสมเหตุสมผลแค่ไหน? คุณป้อนพลังงานเดียวกันลงในทั้งสองระบบ แต่ระบบหนึ่งหมุนเร็วกว่าอีกระบบหนึ่ง

ขอบคุณสำหรับความช่วยเหลือ

แก้ไขเพื่อความกระจ่าง:

1. ฉันกำลังถามเกี่ยวกับความเร็วเชิงมุมของเกียร์แรกในทั้งสองระบบ
2. อุปกรณ์หมุนเชื่อมต่อกับเฟืองตัวแรกเป็นศูนย์กลาง

Answer 1

ลองสร้างสมมติฐานที่ง่ายขึ้นที่นี่:

1. เฟืองมีน้ำหนักเบากว่าโซ่มากดังนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ว่ามวลทั้งหมดอยู่ที่ด้านนอกของเฟืองในโซ่

2. โซ่พันรอบเกียร์ทั้งหมด นี่อาจจะเป็นจริงน้อยกว่า แต่ด้วยวิธีนี้เราสามารถถือว่าระบบเป็นห่วงบาง ๆ สองอันที่ถูก จำกัด ให้หมุนด้วยความเร็วเชิงเส้นเดียวกัน ฉันไม่คิดว่าสิ่งนี้จะทำให้การวิเคราะห์โดยรวมยุ่งเหยิง

3. โซ่มีความหนาแน่นของมวลเชิงเส้นสม่ำเสมอ $\lambda$.

ดังนั้นเฟืองรัศมี $R$ จะมีมวล $m=2\pi R\lambda$ และช่วงเวลาแห่งความเฉื่อยของ $I=mR^2=2\pi R^3\lambda$ นอกจากนี้เนื่องจากข้อ จำกัด ของเฟืองที่เชื่อมต่อด้วยโซ่จะต้องเป็นไปได้ว่าเกียร์มีความเร็วเชิงเส้นเท่ากัน $v=\omega_1R_1=\omega_2R_2$ ที่ขอบของพวกเขา

จากนั้นพลังงานจลน์ของระบบสองเกียร์จะเป็น

$$K=\frac12I_1\omega_1^2+\frac12I_2\omega_2^2=\pi\lambda R_1^2(R_1+R_2)\omega_1^2$$

อย่างที่คุณเห็นสำหรับจำนวนงานที่เท่ากันยิ่งมีขนาดใหญ่ $R_2$ คือยิ่งเล็ก $\omega_1$จะ. ดังนั้นยิ่งเกียร์สองมีขนาดใหญ่เท่าไหร่ทุกอย่างก็จะหมุนช้าลงเท่านั้น

Answer 2

สมมติว่าไม่มีสิ่งอื่นใดที่ระบบขนาดใหญ่จะหมุนช้าลงเนื่องจากช่วงเวลาแห่งความเฉื่อยที่มากขึ้น

เช่นเดียวกับพลังงานจลน์ทั้งหมดในระบบแรกที่สมมติว่าโซ่ไร้มวลได้รับจากความเร็วเชิงมุม $\omega_{1,2}$ เช่น $$ K=\frac12 I_1\omega_1^2 +\frac12 I_2\omega_2^2 $$ช่วงเวลาแห่งความเฉื่อยอยู่ที่ไหน $I_{1,2}.$ ห่วงโซ่ระหว่างพวกเขากำลัง $r_1\omega_1=r_2\omega_2$ เมื่อมันตึงนี่ก็คือ $$K =\frac12\left(I_1(r_2/r_1)^2+I_2\right)\omega_2^2$$ และหากเฟืองมีโครงสร้างใกล้เคียงกัน (วัสดุที่มีความหนาเท่ากัน แต่มีรูปแบบที่ซูมเข้าจากขนาดหนึ่งไปยังอีกขนาดหนึ่ง) คุณจะมี $I_1 =(r_1/r_2)^4 I_2$ จากการวิเคราะห์เชิงมิติเพียงอย่างเดียวดังนั้นคุณจะมีอัตรา $$\omega_1=\frac{r_2}{r_1} ~\frac{\tau\cdot\pi/4}{I_2(1+(r_1/r_2)^2)}.$$

ดังนั้นถ้า $s=r_{1,3}/r_2$ คุณมีคำที่คล้ายกัน $1/(s +s^3),$ มันลดลงเป็น $s$เพิ่มขึ้น ระบบที่ใหญ่กว่าจะหมุนช้าลงด้วยพลังงานเท่ากัน

Answer 3

เราได้สมการพลังงาน $$\tau \cdot \theta = \frac {I_1 \omega_1^2}{2} + \frac {I_2 \omega_2^2}{2}$$.

เนื่องจากเกียร์ทั้งสองเชื่อมต่อกันความเร็วเชิงเส้นที่ขอบจะเท่ากัน เราจึงได้สมการ$\omega_1 r_1 = \omega_2 r_2$.

ปล่อยให้ช่วงเวลาแห่งความเฉื่อยของเกียร์เป็นไป $I = k m r^2$. สมมติว่าเฟืองทำจากวัสดุชนิดเดียวกันความหนาแน่น 2 มิติ -$\sigma$(มวลต่อหน่วยพื้นที่) คงที่ ดังนั้น,$I = k (\sigma \pi r^2) r^2$เช่น $I = k' r^4$

การแทนที่ $r_1 = \frac {\omega_2 r_2}{\omega_1}$ และ $I_n = k' r_n^4$ ในสมการพลังงานเราได้ $$ \tau \cdot \theta = \frac {k' \omega_2^2 r_2^2}{2} (r_1^2 + r_2^2)$$ เช่น $\tau \cdot \theta $ มีค่าคงที่ในทั้งสองกรณี $$ \omega_2 = \frac {k''}{r_2 \sqrt{r_1^2 + r_2^2}}$$ ดังนั้นเมื่อ $r_2$ เพิ่มขึ้นเป็น $r_3$มันเห็นได้ชัดจากสมการว่า $\omega_2$จะลดเป็น$\omega_3$.

เกียร์ที่ใหญ่กว่าจะหมุนเร็วขึ้นก็ต่อเมื่อความหนาแน่นต่ำกว่าเกียร์ขนาดเล็กเพียงพอเพื่อลดช่วงเวลาแห่งความเฉื่อย