กฎของ Morrie กับไซน์

Question

แม้ว่าจะเป็นเรื่องเล็กน้อยที่ต้องพิสูจน์ $\prod_{k=0}^{n-1}\cos(2^kx)=\frac{\sin(2^nx)}{2^n\sin x}$, Wikipedia หมายถึงเอกลักษณ์ที่ "คล้ายกัน" $\sin\tfrac{\pi}{9}\sin\tfrac{2\pi}{9}\sin\tfrac{4\pi}{9}=\frac{\sqrt{3}}{8}$. สิ่งนี้ทำให้เกิดผลลัพธ์สำหรับ$\prod_{k=0}^{n-1}\sin(2^kx)$เหรอ? เราจะพิสูจน์กรณีพิเศษนี้อย่างไร?

Answer 1

ฉันสามารถแสดงหลักฐานการระบุตัวตนที่คล้ายกันได้ แต่ฉันไม่รู้สูตรทั่วไปสำหรับ $\prod_{k=0}^{n-1}\sin(2^kx)$.

ตามการแสดง$\sin{\frac{\pi}{13}} \cdot \sin{\frac{2\pi}{13}} \cdot \sin{\frac{3\pi}{13}} \cdots \sin{\frac{6\pi}{13}} = \frac{\sqrt{13}}{64}$เรามีสิ่งนั้น $$\prod _{k=1}^{n-1}\,\sin \left({\frac {k\pi }{n}} \right)=\frac{n}{2^{n-1}} .$$ สำหรับ $n=9$โดยสมมาตรเรามีสิ่งนั้น $$\left(\sin \left({\frac {\pi }{9}}\right) \sin \left({\frac {2\pi }{9}}\right)\sin \left({\frac {4\pi }{9}}\right)\right)^2\underbrace{\sin^2\left({\frac {\pi }{3}}\right)}_{3/4}=\prod _{k=1}^{8}\,\sin \left({\frac {k\pi }{9}} \right)=\frac{9}{256} $$ และเป็นไปตามนั้น $$\sin \left({\frac {\pi }{9}}\right) \sin \left({\frac {2\pi }{9}}\right)\sin \left({\frac {4\pi }{9}}\right)=\sqrt{\frac{3}{64}}=\frac{\sqrt{3}}{8}.$$ ในทำนองเดียวกันสำหรับ $n=7$เราแสดงให้เห็นว่า $$\sin \left({\frac {\pi }{7}}\right) \sin \left({\frac {2\pi }{7}}\right)\sin \left({\frac {4\pi }{7}}\right)=\frac{\sqrt7}{8}.$$