เกลือในภาชนะ - ปัญหา ODE

Question

เราทำงานกับภาชนะบรรจุน้ำที่จุได้มากถึง 1,000 ลิตร ภาชนะบรรจุน้ำในขั้นต้นบรรจุน้ำ 500 ลิตรซึ่งเกลือ 20 กก. ละลายแล้ว มีการกวนในภาชนะดังนั้นความเข้มข้นของเกลือจึงเท่ากันทุกที่

น้ำสะอาดไหลเข้าสู่ภาชนะด้วยความเร็ว 4 ลิตร / นาที ในเวลาเดียวกันน้ำเค็มจะไหลออกจากภาชนะด้วยความเร็ว 2 ลิตร / นาที สิ่งนี้ทำให้เกิดปัญหาเนื่องจากภาชนะบรรจุอยู่ที่ 1000L เท่านั้น หลังจากนั้นไม่นานเสียงเตือนดังขึ้นเนื่องจากภาชนะบรรจุเต็ม

(ก)นาฬิกาปลุกดังขึ้นกี่โมง?

สมการเชิงอนุพันธ์ที่อธิบายปัญหานี้ถูกกำหนดโดย

$$y'=-\frac{2}{500+2t}\cdot y$$

ระบุว่ามีปริมาณเกลือ 10 กก. เมื่อสัญญาณเตือนดังขึ้นเช่น $y(250)=10$. เช่นเดียวกับเสียงปลุกดังขึ้นการไหลเข้าจะเปลี่ยนไปเพื่อให้น้ำเกลือไหลด้วยเกลือ 35 กรัมต่อ ลิตรในอัตรา 1 ลิตร / นาที ยังคงมี 2L ไหลออกต่อ. นาที.

(b)เกลืออยู่ในภาชนะเท่าไรเมื่อมี 500L อีกครั้งในภาชนะ?

---

คำตอบของฉัน: อืม (a) ค่อนข้างง่ายฉันได้รับว่านาฬิกาปลุกจะดังหลังจากผ่านไป 250 นาที $500+2\cdot 250=1000$จากนั้นนาฬิกาปลุกจะดังขึ้น แต่ส่วนสุดท้ายเช่น (b) ไม่ใช่เรื่องง่ายสำหรับฉัน ฉันเชื่อว่าฉันต้องทำ ODE จากข้อมูลที่ฉันเพิ่งได้มา แต่ที่นี่ฉันพยายามหลายครั้ง สังเกตว่าปัญหานี้มาจากหนังสือที่มีคำถามเพิ่มเติมฉันแค่เลือกส่วนที่เกี่ยวข้อง (b) ระบุว่า "สมัครใจ" ในหนังสือด้วย สังเกตว่านี่ไม่ใช่ปัญหาในการทำการบ้าน

Answer 1

สำหรับส่วน (b)

คุณมี $1000$ ลิตรของน้ำเริ่มต้นซึ่งมี $10$ กิโลกรัมเกลือ

ปริมาตรน้ำจะลดลงในอัตรา 1 ลิตร / นาที (1 ลิตรไหลเข้าและ 2 ลิตรไหลออกทุกนาที) จะใช้เวลา$500$ นาทีที่จะลดจาก $1000$ ลิตรถึง $500$ ลิตร.

ปริมาณน้ำที่เหลือในถังครั้งแล้วครั้งเล่า $t$ นาที $= 1000 - t$

เกลือไหลเข้ามาในอัตรา $0.035$ กก. / นาที

บอกว่ามี $y$ กิโลกรัมเกลือในเวลาที่กำหนด $t$ ใน $1000-t$ ลิตรน้ำ

แล้วในเวลานั้น $t$เกลือไหลออกมาในอัตรา $\frac{y}{1000-t} \times 2$ (เช่น $2$ ลิตรต่อนาทีไหลออก)

ดังนั้นอัตราการเปลี่ยนแปลงของเกลือ $\frac{dy}{dt} = 0.035 - \frac{2y}{1000-t}$

เอาเป็นว่า $x = 1000 - t$ จากนั้นด้วยการเปลี่ยนตัว

$- \frac{dy}{dx} = 0.035 - \frac{2y}{x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{x} - 0.035$ ...(ผม)

ในการแก้สมการเชิงเส้นเราต้องใช้ตัวประกอบอินทิเกรต ฉันใช้ WolframAlpha เพื่อตรวจสอบ

$\mu = e^{\int{-2/x \, dx}} = \frac{1}{x^2}$

คูณทั้งสองข้างด้วย $\mu$ ใน (i),

$\frac{1}{x^2} \frac{dy}{dx} - \frac{2y}{x^3} = - \frac{0.035}{x^2} $

$\frac{1}{x^2} \frac{dy}{dx} + \frac{d}{dx}(\frac{1}{x^2})y = - \frac{0.035}{x^2} $

$\int d(\frac{y}{x^2}) = - \int \frac{0.035}{x^2}dx $

$\int d(\frac{y}{x^2}) = - \int \frac{0.035}{x^2}dx $

$y = 0.035x + cx^2$

เปลี่ยนตัวกลับ $x = 1000 - t$

$y = 35 - 0.035t + c(1000-t)^2$

ที่ $t = 0$มี $10$ กิโลกรัมเกลือ

$10 = 35 + c \times 1000^2$

ดังนั้นคงที่ $c = -\frac{25}{1000^2}$

ที่ $t = 500$,

เกลือทั้งหมด $y = 35 - 0.035 \times 500 - \frac{25}{1000^2} \times 500^2 = 11.25$ กิโลกรัม.