คำใบ้ปัญหา USAMO
พิสูจน์ว่าสำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n มีจำนวน n หลักหารด้วย 5 ได้$^n$ตัวเลขทั้งหมดเป็นเลขคี่
USAMO 2003
นี่เป็นครั้งแรกที่ฉันได้เห็นปัญหาเช่นนี้ดังนั้นฉันจึงไม่แน่ใจว่าจะต้องทำอย่างไรการเหนี่ยวนำการก่อสร้างการตรวจสอบกรณีเล็ก ๆ ความขัดแย้งคือบางสิ่งที่ฉันได้ลอง
ฉันรู้ว่าฉันสามารถค้นหาได้อย่างง่ายดายทุกที่วิธีการแก้ปัญหา แต่ฉันไม่ต้องการที่จะมองไปที่การแก้ปัญหาดังนั้นโปรดให้ข้อเสนอแนะ
ฉันได้โพสต์วิธีแก้ปัญหาแล้ว https://math.stackexchange.com/questions/3918561/usamo-problem-solution ที่นี่โปรดตรวจสอบให้ดี
โปรดอย่าให้วิธีแก้ปัญหาอย่างเต็มที่คำแนะนำใด ๆ จะได้รับการชื่นชม
คำตอบ
คำแนะนำ: ตามความคิดเห็นของลูลู่สมมติว่าคุณได้สร้างตัวเลขขึ้นมา $N$ ด้วย $n-1$ เลขคี่หารด้วย $5^{n-1}$. ลองเขียนตัวเลขนี้เป็น$N = p\cdot5^{n-1}$. จากนั้นคุณต้องการหาเลขคี่$a$ ดังนั้น $a\cdot10^{n-1}+ p\cdot5^{n-1} = k\cdot5^n$ สำหรับจำนวนเต็ม $k > 0$. นี่คือ iff จริง$5 | (a\cdot2^{n-1}+p)$. การเขียน$a = 2m+1$คุณพิสูจน์ได้ไหมว่าเราสามารถหาได้ $m$เหรอ? นอกจากนี้$m$ เป็น mod $5$และด้วยเหตุนี้ $a$ เป็นตัวเลข
กรณีฐานที่เห็นได้ชัด