แคลคูลัสชูเบิร์ต

Question

ปล่อย $X = Gr(2,4)$ Grassmannian ที่ซับซ้อนของ $2$- เครื่องบินใน $V = \Bbb C^4$ และ $S$ มัด tautological $Q$บันเดิลผลหาร วงแหวน cohomology ถูกสร้างขึ้นโดย$c_1(S), c_2(S)$ กับความสัมพันธ์ $c(S)c(Q) = 1$มาจากลำดับที่แน่นอนสั้น ๆ ของการรวมกลุ่มเวกเตอร์ $0 \to S \to V \to Q \to 0$.

หนึ่งควรได้รับ $c_1(S)^4 = 1$จากความสัมพันธ์เหล่านี้ล้วนๆ แต่ฉันไม่สามารถทำได้ ใครช่วยอธิบายวิธีทำ

Answer 1

ก่อนอื่น $c_1(S)^4 = 2$ไม่ใช่ 1. การคำนวณนั้นค่อนข้างง่าย ให้ฉันแสดง$a_i := c_i(S)$, $b_i = c_i(Q)$. แล้วความสัมพันธ์คือ$$ a_1 + b_1 = a_2 + a_1b_1 + b_2 = a_1b_2 + a_2b_1 = a_2b_2 = 0. $$ ครั้งแรกให้ $b_1 = -a_1$ที่สองให้ $b_2 = a_1^2 - a_2$และสองตัวสุดท้ายให้ $$ a_1^3 = 2a_1a_2, \qquad a_1^2a_2 = a_2^2. $$ การรวมค่าความเท่าเทียมกันสองรายการสุดท้ายให้ $ a_1a_2^2 = a_1(a_1^2a_2) = (a_1^3)a_2 = 2a_1a_2^2, $ ด้วยเหตุนี้ $a_1a_2^2 = 0$. ซึ่งหมายความว่าวงแหวนโคโฮโมโลยีถูกทอดออกไป$\mathbb{Z}$ โดย $1$, $a_1$, $a_2$, $a_1a_2$, $a_2^2$และนั่น $$ a_1^4 = 2a_2^2 $$ ซึ่งแปลเป็นความเท่าเทียมกันที่จำเป็น $c_1(S)^4 = 2$.