คำถามเกี่ยวกับการพนัน
แบบฝึกหัด 4.21:ในเกมที่คุณชนะ \ $ 10 ด้วยความน่าจะเป็น$ \ frac {1} {20} $และแพ้ \ $ 1 พร้อมความน่าจะเป็น$\frac{19}{20}$. ความน่าจะเป็นโดยประมาณที่คุณแพ้น้อยกว่า $ 100 หลังจาก 200 เกมแรก ความน่าจะเป็นนี้จะเปลี่ยนไปอย่างไรหลังจาก 300 เกม?
ความพยายาม :
อันดับแรกเราจะแสดงการชนะและการแพ้ร่วมกันในตัวแปรเดียว กำหนด\ เริ่มต้น {สมการ *} W_n = 10S_n - (n - S_n) \ end {สมการ *}โดยที่$ W_n $หมายถึงการชนะหลังจาก$ n $เกมและ$ S_n $กำหนดจำนวนครั้งที่ชนะในเกม$ n $ ดังนั้น\ เริ่ม {สมการ *} P (W_n \ geq 100) = P (11S_n - n> -100) = P \ biggr (S_n> \ frac {n - 100} {11} \ biggr) \ end {สมการ *}ตอนนี้เราใช้ Central Limit Theorem ในทั้งสองกรณีโดยมีค่า$ n $ ต่างกัน
Let $ n = 200 $แล้ว$ S_n \ Bin ซิม (200 \ frac {1} {20}) $ เราจึงต้องการให้$ S_n> \ frac {100} {11} $ ยิ่งไปกว่านั้น$ E [S_n] = 200 \ cdot \ frac {1} {20} = 10 $และ Var $ (S_n) = 200 \ cdot \ frac {1} {20} \ cdot \ frac {19} {20} = \ frac {19} {2}. $ดังนั้นมันจึงตามมาจาก CLT ด้วยการแก้ไขความต่อเนื่องที่\ start {สมการ *} P \ biggr (\ frac {\ frac {100} {11} - 10} {\ sqrt { \ frac {19} {2}}} <\ frac {S_n - 10} {\ sqrt {\ frac {19} {2}}} \ biggr) \ ประมาณ 1 - \ Phi (-0.457169) \ ประมาณ 0.6772 \ end {สมการ *}
ตอนนี้หนังสือเล่มนี้ให้คำตอบที่แตกต่างออกไปสำหรับกรณีแรกของ 200 เกมนั่นคือ 0.5636 ฉันต้องการเข้าใจความผิดพลาดของฉันก่อนที่จะดำเนินการต่อในกรณีต่อไป
สิ่งนี้ก็สมเหตุสมผลเช่นกันเนื่องจากเงื่อนไขของ$ S_n> \ frac {100} {11} $ควรอยู่ใกล้ด้านบนสุดของเส้นโค้งเบลล์ของการแจกแจงปกติเนื่องจากค่าที่คาดไว้คือ 10 ใกล้เคียงกับ$ \ frac {100} {11} $ . อย่างไรก็ตามตลอดชีวิตของฉันฉันไม่สามารถมองเห็นข้อผิดพลาดในการคำนวณของฉันได้
(คำถาม Math Stack Exchange อื่น ๆ สำหรับคำถามนี้ไม่ได้ชี้แจงอะไรสำหรับฉันเป็นหลักดังนั้นโพสต์นี้)
เสียเงินน้อยกว่า $ 100 ในเกมแห่งโอกาส
คำตอบ
ถ้า $X$ คือจำนวนการชนะแบบสุ่มใน $n$ เกมแล้ว $$X \sim \operatorname{Binomial}(n = 200, p = 0.05)$$ และตัวแปรสุ่มชนะ / แพ้สุทธิคือ $$W = 10X - (n-X) = 11X - n.$$ ด้วยประการฉะนี้ $$\Pr[W > -100] = \Pr[11X - 200 > -100] = \Pr[X \ge 10].$$ นิพจน์สุดท้ายนี้เกิดจากความจริงที่ว่า $X$ไม่สามารถรับค่าเศษส่วนได้ ด้วยเหตุนี้$$\Pr[X \ge 10] = 1 - \sum_{x=0}^{9} \binom{200}{x} (0.05)^x (0.95)^{200-x} \approx 0.54529\ldots.$$ นี่คือความน่าจะเป็นที่แน่นอน: การประมาณเพียงอย่างเดียวในที่นี้คือการปัดเศษเศษส่วนให้เป็นทศนิยม
นอกจากนี้ยังให้ข้อมูลเชิงลึกที่สำคัญว่าเหตุใดคำตอบของคุณจึงไม่ถูกต้อง: เพียงเพราะคุณใช้การประมาณปกติกับการแก้ไขความต่อเนื่องไม่ได้หมายความว่าผลลัพธ์ของ $W$ ที่คุณต้องการรวมไว้ในความน่าจะเป็นที่ต้องการสามารถอยู่นอกพื้นที่ตัวอย่างได้ $W$.
ตัวอย่างเช่นถ้า $U \sim \operatorname{Binomial}(n = 500, p = 0.5)$และฉันขอให้คุณ $\Pr[U < 225.999]$ก่อนอื่นคุณต้องเขียน $\Pr[U < 225.999] = \Pr[U \le 225]$, แล้วคุณใช้การแก้ไขต่อเนื่องใกล้เคียงกับว่ามันเป็น$$\Pr\left[Z \le \frac{225.5 - 250}{5 \sqrt{5}}\right].$$เช่นเดียวกันกับที่นี่ ดังนั้น$$\Pr[W > -100] = \Pr[X \ge 10] \approx \Pr\left[\frac{X - 10}{\sqrt{9.5}} \ge \frac{9.5 - 10}{\sqrt{9.5}}\right] \approx \Pr[Z \ge -0.162221] \approx 0.564434.$$ เห็นได้ชัดว่าข้อความของคุณถูกปัดเศษก่อนที่จะทำการคำนวณให้เสร็จสิ้นหรือกำลังใช้การค้นหาตารางปกติมาตรฐานโดยไม่มีการแก้ไขเนื่องจาก $\Pr[Z \ge -0.16] \approx 0.563559$. ไม่ว่าในกรณีใดการประมาณ$$\Pr[Z \ge -0.457169] \approx 0.676225$$ เบี่ยงเบนไปมากเกินไป