คำถามนิยาม Universal Quantification
ฉันมีคำถามเกี่ยวกับวิธีการกำหนดตัวระบุปริมาณสากล Church Intro to Metamathmaticsให้คำจำกัดความสากลว่าเป็น "$\forall x$ __ เป็นจริงถ้าค่าของ __ เป็นจริงสำหรับค่าทั้งหมดของ x "และค่านั้น"$\forall x$__ เป็นเท็จหากค่าของ __ เป็นเท็จสำหรับค่าใด ๆ ของ x ฉันสมมติว่า "ค่าทั้งหมดของ x" หมายถึงโดเมนของวาทกรรมซึ่งเป็นจักรวาลสำหรับระบบปัจจุบัน Frege Begriffsschriftระบุว่า$\forall x P(x)$ "สิ่งที่เราสามารถทำได้เพื่อโต้แย้งหน้าที่คือข้อเท็จจริง" และสิ่งนี้ก็คล้ายกับคำจำกัดความของศาสนจักร
wikiกำหนดปริมาณเป็น "ตัวระบุปริมาณระบุปริมาณของตัวอย่างในโดเมนของวาทกรรมที่ตรงตามสูตรเปิด" คำจำกัดความนี้แตกต่างจากคำจำกัดความข้างต้นเนื่องจากแนะนำให้เลือกองค์ประกอบจาก DOD เพื่อตอบสนองสูตรเปิด ฉันสงสัยว่านี่หมายถึงอะไร$\forall x$ จะต้องเป็นจริงเสมอเนื่องจากมีการเลือกองค์ประกอบจาก DOD ที่ตรงตามสูตรเท่านั้น $x$. คำจำกัดความของวิกินี้ถูกต้องหรือไม่?
การให้คำจำกัดความของคริสตจักรและFregeสำหรับการหาปริมาณสูตรนี้จะเป็นเท็จเพราะทั้งหมด$n$ จาก DOD ต้องไม่เป็นสมาชิกของ $\mathbb{N}$เหรอ?
$\forall n\in \mathbb{N} P(n)$
ซึ่งสามารถเขียนได้: $\forall n (n \in \mathbb{N} \land P(n))$
หรือคือ $\forall n \in \mathbb{N}$ระบุ DOD? อะไรระบุ DOD?
คำตอบ
วิธีที่ถูกต้องในการเปลี่ยนจากตัวระบุปริมาณที่ จำกัด ไปเป็นตัวระบุปริมาณที่ไม่ จำกัด คือ \begin{align}\forall x\in A, P(x)&\equiv \forall x, (x\in A\to P(x))\equiv \forall x,(P(x)\lor \neg x\in A)\\ \exists x\in A, P(x)&\equiv \exists x,(x\in A\land P(x))\end{align}
สิ่งนี้ครอบคลุมถึงภาษาธรรมชาติการใช้งานทั่วไปในคณิตศาสตร์และโดยทั่วไปทุกอย่าง (อาจเป็นความจริงทางวัตถุ)
ในทางคณิตศาสตร์ธรรมดาโดเมนของวาทกรรมจะแสดงในข้อความเช่นนี้: "สำหรับทุกคน $x \in A$ ทรัพย์สิน $P(x)$ ถือ "คุณสามารถแปลสิ่งนี้ว่า" สำหรับทุกคน $x$, ถ้า $x \in A$ จากนั้นทรัพย์สิน $P(x)$ ถือ "ซึ่งสามารถเขียนเป็น $$\forall x, \, x \in A \implies P(x) $$โปรดทราบว่าสิ่งนี้ไม่เทียบเท่ากับที่คุณแนะนำในโพสต์ของคุณกล่าวคือ$x \in A \land P(x)$. ตัวเชื่อมต่อแบบลอจิคัลที่ถูกต้องคือความหมาย$\implies$ไม่ใช่การเชื่อมต่อ $\land$.
โปรดทราบว่าไม่จำเป็นต้องแสดงขอบเขตของวาทกรรมอย่างไรก็ตามมักทำกันมากในคณิตศาสตร์ธรรมดา