คำถามพิสูจน์ต่อเนื่อง

Question

ให้ f: [0, ∞) → R เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและให้ g: [0, ∞) → R เป็นฟังก์ชันที่กำหนดโดย g (x) = sup {f (y) | y ∈ [0, x]} พิสูจน์ว่า g ยังต่อเนื่อง

ฉันลองใช้ข้อความ Intro to Real Analysis เพื่อทำการพิสูจน์นี้ให้เสร็จสมบูรณ์ แต่ฉันไม่แน่ใจว่าจะจัดการ supermum ได้อย่างไร ฉันรู้ว่าฉันต้องแสดงให้เห็นว่า g เพิ่มขึ้น แต่ฉันไม่รู้ว่าจะไปจากที่นั่น

ความช่วยเหลือใด ๆ จะได้รับการชื่นชม

Answer 1

ฉันจะพิสูจน์ความขัดแย้ง: ถ้า $g$ ไม่ต่อเนื่องที่ $x_0$แล้วก็เป็นเช่นนั้น $f$. อันที่จริงแสดง$g$การเพิ่มขึ้นเป็นความช่วยเหลือที่ดีเนื่องจากความไม่ต่อเนื่องในการเพิ่มฟังก์ชันจำเป็นต้องมีความไม่ต่อเนื่องแบบก้าวกระโดด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง (ยกเว้นกรณีพิเศษ$x_0 = 0$) เราต้องมี $$\lim_{x \to x_0^-} g(x) < \lim_{x \to x_0^+} g(x).$$ ข้อ จำกัด ด้านเดียวเหล่านี้มีอยู่โดยพื้นฐานของทฤษฎีบทคอนเวอร์เจนซ์แบบโมโนโทนแบบต่อเนื่อง จากทางซ้ายฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นและถูกล้อมรอบไว้ด้านบน$g(x_0 + 1)$. จากทางขวาฟังก์ชันจะลดลงโดยมีขอบเขตอยู่ด้านล่าง$g(x_0/2)$ (ไม่ได้เลือก $x_0 - 1$ในกรณี $x_0 \in (0, 1)$).

ในทางกลับกันถ้า $x_0 = 0$ดังนั้นวิธีเดียวที่เราจะมีความไม่ต่อเนื่องคือถ้า $$f(0) = g(0) < \lim_{x \to 0^-} g(0).$$ สิ่งนี้จำเป็นต้องจัดการแยกเป็นกรณี ๆ ไป

ถ้า $x_0 > 0$จากนั้นปล่อยให้ขีด จำกัด ด้านซ้ายของ $g$ เป็น $L$ และขีด จำกัด ที่เหมาะสมคือ $R$. ฉันขอแนะนำให้พิสูจน์ว่า$f(x) \le L$ สำหรับทุกอย่าง $x \in [0, x_0]$ซึ่งหมายความว่า $\lim_{x \to x_0} f(x) \le L$หากมีขีด จำกัด ดังกล่าว แต่ในทางกลับกันสำหรับใด ๆ$n \in \Bbb{N}$ต้องมีอยู่บ้าง $x_n \in [0, x_0 + 1/n]$ ดังนั้น $f(x_n) \ge R$. ซึ่งหมายความว่า$\lim_{x \to x_0} f(x) \ge R$ถ้ามีอยู่ ดังนั้นจึงไม่สามารถมีขีด จำกัด ได้$f$ ไม่สามารถต่อเนื่องที่ $x_0$.

ฉันจะออกจากไฟล์ $x_0 = 0$สำหรับคุณเช่นเดียวกับการกรอกข้อมูลในช่องว่าง! โปรดแจ้งให้เราทราบหากคุณต้องการความช่วยเหลือเพิ่มเติม