คุณสมบัติของศูนย์สามเหลี่ยม
$M$ คือจุดตัดของ 3 เซเวียในสามเหลี่ยม $ABC$.
$$AB_1 = x,\quad CA_1 = y,\quad BC_1= z.$$
สามารถพิสูจน์ได้อย่างง่ายดายว่าทั้งNagelและGergonneชี้ว่าสมการต่อไปนี้เป็นจริง:$$S = xyz / r,$$ ที่ไหน $S$ คือพื้นที่ของสามเหลี่ยม $ABC$ และ $r$ คือรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้
ฉันสงสัยว่าศูนย์สามเหลี่ยมอื่น ๆ ที่อาจมีคุณสมบัติเหมือนกันคืออะไรและสถานที่ทางเรขาคณิตสำหรับพวกเขาคืออะไร?
นอกจากนี้โปรดทราบว่าสำหรับกรณีที่จุด $M$ เซนทรอยด์คือสูตรมีลักษณะดังนี้: $S = 2xyz/R$, ที่ไหน $R$คือรัศมีของเส้นรอบวง การแทน$x = b/2$, $y = a/2$, $z = c/2$ นำกลับไปสู่ความคลาสสิก $S = abc/4R$. บางทีศูนย์สามเหลี่ยมอื่น ๆ อาจมีอยู่เพื่อให้สมการนี้$S = 2xyz/R$ถือเป็นความจริงสำหรับพวกเขาเช่นกัน ฉันสงสัยว่าจุดสมมุติเหล่านี้อาจเกี่ยวข้องกับเซนทรอยด์ของอะไรเป็นพิเศษ$ABC$เหรอ?
คำตอบ
นี่เป็นเพียงความคิดเห็นของความคิดเห็นด้านบน แต่ยาวเกินไปสำหรับความคิดเห็น ถ้า$M$ มีพิกัด barycentric $(\lambda,\mu,\nu)$ (ไม่จำเป็นต้องเป็นบวกและทำให้เป็นมาตรฐานอย่างนั้น $\lambda+\mu+\nu=1$) จากนั้นเงื่อนไขทั้งสองจะลดเป็นสมการลูกบาศก์ของแบบฟอร์ม $$ \frac{\lambda\mu\nu}{(\mu+\nu)(\nu+\lambda)(\lambda+\mu)} $$ เป็นค่าคงที่ซึ่งขึ้นอยู่กับ (รูปร่างของ) สามเหลี่ยมและสามารถคำนวณได้อย่างชัดเจน
เพื่อตรวจสอบว่าศูนย์ที่กำหนด (พร้อมฟังก์ชันศูนย์ $f$ จากสารานุกรมของศูนย์สามเหลี่ยมซึ่งทำให้เป็นเนื้อเดียวกันกับ $f(a,b,c)+f(b,a,c)+f(c,a,b)=1$) มันควรจะง่ายในการเขียนโปรแกรมขนาดเล็กพูดใน Mathematica เพื่อตรวจสอบสิ่งนี้ทันที
GeoGebra พบ X (7) X (8) X (506) X (507) และอื่น ๆ อีกมากมายหากคุณปล่อยให้จุดตัดรอบนอกของ cevians
PS: พบข้อบกพร่องใน GeoGebra
ฉันหวังว่ามันจะได้รับการแก้ไขในไม่ช้า [แก้ไข: แก้ไขแล้ว]