ความคล้ายคลึงกับระบบท้องถิ่น

Question

ปล่อย $X$เป็นพื้นที่ทอพอโลยีที่เชื่อมต่อกับกลุ่มพื้นฐานของอาเบเลียน ปล่อย$\mathcal{L}$ เป็น $\mathbb{Z}$- ประเมินระบบท้องถิ่น $X$.

สมมติว่าฉันรู้จัก homology เต็มรูปแบบ $H_*(X;\mathbb{Z})$. มีเครื่องมือใดบ้างที่ช่วยให้ฉันคำนวณ (บางส่วน) ค่าความคล้ายคลึงกันของสัมประสิทธิ์ท้องถิ่นได้$H_*(X; \mathcal{L})$เหรอ? ตัวอย่างเช่นถ้าฉันรู้ว่าอันดับของ$H_*(X;\mathbb{Z})$ กลายเป็นฟังก์ชั่นขององศาโดยไม่ผูกมัดฉันสามารถสรุปได้เหมือนกันเกี่ยวกับ $H_*(X; \mathcal{L})$เหรอ?

Answer 1

แนวทางหนึ่งคือการใช้ mod $2$homology. คุณรู้ว่า

$H_i(X;\mathbb Z/2)$ isomorphic สำหรับทั้งสอง $ H_i(X)\otimes \mathbb Z/2\oplus Tor(H_i(X),\mathbb Z/2)$ และ $H_i(X;\mathcal L:)\otimes \mathbb Z/2\oplus Tor(H_i(X;\mathcal L),\mathbb Z/2)$. หากกลุ่ม homology แบบอินทิกรัลถูกสร้างขึ้นอย่างสมบูรณ์สิ่งนี้จะให้สิ่งที่คุณต้องการ

แต่ถ้า $2$ กลับด้านไม่ได้ในการคล้ายคลึงกันแบบอินทิกรัลฉันไม่คิดว่าคุณจะพูดอะไรได้มาก $X$ มี $2$- แผ่นปิดพื้นที่ $\tilde X$, และถ้า $H_i(\tilde X)$ คือ $\mathbb Z[1/2]$จากนั้นโมดูลจะแยกเป็นผลรวมโดยตรงของ $+1$ และ $-1$ `` eigenspaces '' สำหรับการกระทำของการเปลี่ยนแปลงที่ครอบคลุมซึ่งในตอนนั้น $H_i(X)$ และ $H_i(X;\mathcal L)$. สองส่วนนี้ไม่จำเป็นต้องมีอะไรเกี่ยวข้องกัน