ขอบเขตฟังก์ชันพื้น
จาก CMC:
ผลรวมของกำลังสองของจำนวนจริงคืออะไร $x$ ซึ่ง $x^2 - 20\lfloor x\rfloor + 19 = 0$เหรอ?
เราใช้ $\lfloor x\rfloor\le x<\lfloor x\rfloor+1$ และในที่สุดก็ได้รับขอบเขต $1\le x\le19$ และ $x\ge 18,x\le 2.$ แน่นอนมันเป็นไปได้สำหรับ $x$ ไม่ให้เป็นจำนวนเต็มดังนั้นเราจะหาคำตอบอื่น ๆ ได้อย่างไร $19$ และ $1$เหรอ?
มีคนเขียนวิธีแก้ปัญหานี้:
$x^2 - 20\lfloor x \rfloor + 19 = 0$ เคลียร์ $x\geq \lfloor x \rfloor$ จริงทั้งหมด $x$. ด้วยประการฉะนี้$$x^2-20x+19 \leq x^2 - 20\lfloor x \rfloor + 19=0.$$ ซึ่งนำไปสู่ $$1 \leq x \leq19.$$นอกจากนี้ $x^2=20\lfloor x\rfloor - 19$ ซึ่งหมายความว่า $\lfloor x \rfloor=1,17,18,19$.
ฉันไม่แน่ใจว่าเราได้รับอย่างไร $\lfloor x\rfloor=17,18$ จากนี้.
คำตอบ
$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ $\ds{\bbox[5px,#ffd]{x^{2} - 20\left\lfloor\,{x}\,\right\rfloor + 19 = 0}\,,\quad x = {\Large ?}}$
เป็นที่ชัดเจนว่า $\ds{\left\lfloor x\right\rfloor = {x^{2} + 19 \over 20} = m, \mbox{where}\ m \in \mathbb{N}_{\geq\ 1}\ \mbox{such that}\ x = \root{20m - 19}}$.
จากนั้น \begin{align} &\bbox[5px,#ffd]{m = \left\lfloor\,{\root{20m - 19}}\,\right\rfloor} \implies m \leq \root{20m - 19} < m + 1 \\[5mm] & \implies m^{2} \leq 20m - 19 < m^{2} + 2m + 1 \implies \left\{\begin{array}{lcl} \ds{m^{2} - 20m + 19} & \ds{\leq} & \ds{0} \\ \ds{m^{2} - 18m + 20} & \ds{>} & \ds{0} \end{array}\right. \\[5mm] &\ \mbox{with solutions}\quad 1 \leq m <\ \underbrace{9 - \root{61}}_{\ds{\approx 1.1898}}\ \quad\mbox{or}\quad \underbrace{9 + \root{61}}_{\ds{\approx 16.8102}}\ < m \leq 19 \\[5mm] &\ \implies m \in \braces{1,17,18,19} \implies \bbx{x \in \braces{1,\root{321},\root{341},19}} \\ & \end{align} ด้วย $\ds{\root{321} \approx 17.9165}$ และ $\ds{\root{341} \approx 18.4662}$. โปรดตรวจสอบ$\ds{\color{red}{x < 0}}$.
$$x^2 - 20 \lfloor x \rfloor + 19 = 0$$
สัญชาตญาณคือการแก้ปัญหาไม่ไกลเกินไปจากคำตอบของ $x^2-20x+19=0$กล่าวคือ $x=1, 19$. ไปข้างหน้าและแสดงสัญชาตญาณนั้น! ฉันไม่คุ้นเคยกับการเล่นซอ$x-1 < \lfloor x \rfloor \le x$. ลองดูวิธีที่ละเอียดกว่านี้
ปล่อย $n = \lfloor x \rfloor , u = x-n$. ดังนั้น$0\le u < 1$. $$(n+u)^2 - 20n + 19=0.$$ เราได้รับการขยายตัว $$u^2 + 2nu + (n^2-20n + 19)=0.$$ เรารู้ว่า $u \in [0,1)$. สมการนี้ต้องมีคำตอบในช่วงเวลานั้น มันจะมีสองไหม มันจะหมายความว่าผลรวมของคำตอบทั้งสองนี้มีค่ามากกว่า 0 แต่จากทฤษฎีบทของ Vieta มันเป็นไปไม่ได้ ดังนั้นจึงมี 1 วิธีแก้ปัญหาในช่วงเวลา$[0,1)$. ถ้าคำตอบนั้นเป็น 0 กันแน่$0^2 + 2n\cdot 0 + (n^2-20n+19)=0.$ ดังนั้น $n = 1,19$. ถ้าไม่มีเราจะเห็นว่าฟังก์ชัน$f_n(u) = u^2 + 2nu + (n^2-20n + 19)$ ต้องเปลี่ยนเครื่องหมายหนึ่งครั้งในช่วงเวลานั้น ๆ $(0,1)$. ดังนั้น$f(0)f(1) < 0.$ นั่นหมายความว่า $$(n^2-20n+19)(n^2-18n + 20)<0,$$ ซึ่งเราสามารถแยกตัวประกอบได้: $$(n-19)(n-1)(n-1.1897..)(n-16.8102..) < 0.$$ (ในทางปฏิบัติคุณไม่ต้องการความแม่นยำมากนักคุณเพียงแค่ต้องคำนวณส่วนอินทิกรัล) ตั้งแต่นั้นมา $n$ เป็นจำนวนเต็ม $n=17, 18.$ (คุณเห็นไหมว่าทำไมฉันจะอธิบายเพิ่มเติมตามคำขอ)
การแทนที่ $n=17$ และ $n=18$เราได้สมการสำหรับ $u$ตามลำดับ และนี่จะกลายเป็นสมการกำลังสองปกติ
จาก $\lfloor x\rfloor=(x^2+19)/20\gt0$เราเห็นว่าเราต้องมี $x\gt0$ดังนั้น $x=\sqrt{20\lfloor x\rfloor-19}$(กล่าวคือค่าบวกไม่ใช่ค่าลบรากที่สอง) ก็เป็นไปตามนั้น$x^2-20\lfloor x\rfloor+19=0$ มีโซลูชัน (เฉพาะ) ด้วย $\lfloor x\rfloor=n\in\mathbb{Z}^+$ ถ้าและต่อเมื่อ $n\le\sqrt{20n-19}\lt n+1$. เรามีทุกสิ่งที่มองไม่เห็นในแง่ลบ
$$\begin{align} n\le\sqrt{20n-19}\lt n+1 &\iff n^2\le20n-19\lt n^2+2n+1\\ &\iff n^2-20n+19\le0\lt n^2-18n+20 \end{align}$$
อสมการกำลังสองแรกในบรรทัดสุดท้ายบอกเรา $1\le n\le19$; ที่สองบอกเราเช่นกัน$n\lt9-\sqrt{61}$ หรือ $n\gt9+\sqrt{61}$ซึ่งตั้งแต่นั้นมา $7\lt\sqrt{61}$บอกเราด้วย $n\lt2$ หรือ $n\gt16$. ดังนั้นเราจึงมีค่าสี่ค่าสำหรับ$\lfloor x\rfloor=n$กล่าวคือ $1$, $17$, $18$และ $19$กับ $20n-19$ สำหรับค่าที่สอดคล้องกันของ $x^2$. ผลรวมของกำลังสองคือ
$$(20\cdot1-19)+(20\cdot17-19)+(20\cdot18-19)+(20\cdot19-19)=20(1+54)-76=1024$$
(ความจริงที่ว่าคำตอบสุดท้ายกลายเป็นพลังของ $2$ เป็นเรื่องบังเอิญอย่างแน่นอน)