กราฟ $x = 2 + e^{-\frac{1}{2}x}$

Question

คำถามของฉันเฉพาะในส่วนที่ 2

ค่าคงที่ $a$ เป็นเช่นนั้น $$\int_0^a x\mathrm e^{\frac12x}\,\mathrm dx=6\text.$$

1. แสดงว่า $a$ เป็นไปตามสมการ $$x = 2 + \mathrm e^{-\frac{1}{2}x}\text.$$
2. โดยการร่างกราฟคู่ที่เหมาะสมแสดงว่าสมการนี้มีเพียงรากเดียว
3. ตรวจสอบโดยการคำนวณว่ารูทนี้อยู่ระหว่าง $2$ และ $2.5$.
4. ใช้สูตรซ้ำตามสมการในส่วนที่ 1 เพื่อคำนวณค่าของ $a$ ถูกต้องเป็น $2$ตำแหน่งทศนิยม ให้ผลลัพธ์ของการทำซ้ำแต่ละครั้งเป็น$4$ ตำแหน่งทศนิยม

ฉันเปลี่ยนอินทิกรัลเป็นรูปแบบที่กำหนดสำเร็จแล้ว: $$x = 2 + \mathrm e^{-\frac{1}{2}x}$$

ตอนนี้สำหรับการร่าง ฉันสับสนมากว่าฉันควรร่างกราฟนี้อย่างไร ฉันรู้กราฟทั่วไปของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล แต่ใน$x = 2 + \mathrm e^{-\frac{1}{2}x}$ฉันไม่มี $y$!

ใครจะลงรายละเอียดได้ไหม ตอนนี้ผมยังไม่สามารถคาดศีรษะของตัวเองได้ดังนั้นรายละเอียดจะช่วยให้ผมเห็นแสงสว่าง

Answer 1

คุณสามารถร่าง $f(x)=x$. อย่างชัดเจน$f(0)=0$ และ $f(3)=3$.

ตอนนี้ให้ดูที่ $g(x)=2+e^{-\frac{x}{2}}$. เรามี$g(0)=3$, $g(3)=2+e^{-\frac{3}{2}}<3,$$\ lim_ {x \ rightarrow \ infty} g (x) = 2 $และ$ \ lim_ {x \ rightarrow- \ infty} g (x) = \ infty. $

แล้ว$ กรัม (0)> f (0) $และ$ กรัม (3) <f (3) $ ดังนั้นร่างทั้งกราฟเราจะเห็นว่ามีทางออกสำหรับ$ x \ in (0,3) $ ดูที่นี่ .

Answer 2

ในส่วน (iii) คุณควรจะพบว่าสำหรับ $g(x) = x - \left(2 + e^{-\frac{1}{2}x} \right)$, $g(2) > 0$ และ $g(2.5) < 0$. จากนั้นใช้ IVT เพื่อแสดงการมีอยู่ของรูทระหว่าง$2$ และ $2.5$.